Questão 60 Unesp 2023 - 2ª fase

Perceba que o sólido em questão se trata de um tronco de prisma.

1ª Resolução

Podemos considerar que seu volume é equivalente ao de um prisma reto de mesma base e com altura igual a média aritmética das alturas apresentadas.

A área da base ($S_B$) definida pelo triângulo UNE é dada por:

$S_B=\frac{3·4}{2}$

$S_B=6$ cm²

Uma vez que o triângulo UNE é retângulo, pois a medida de seus lados (3, 4 e 5) satisfazem o Teorema de Pitágoras.

Já a altura do prisma reto ($h$), como mencionado, é a média aritmética das alturas do tronco de prisma, ou seja:

$h=\frac{8+10+12}{3}$

$h=10$ cm

Desta forma, temos que o volume ($V$) do sólido VUNESP é dado por:

$V=S_B·h$
$V=60$ cm³

2ª Resolução

Podemos completar o tronco de prisma VUNESP de forma a obtermos um prisma reto como na imagem:

Perceba que o volume ($V$) do sólido VUNESP será dado por:

$V=V_{VUNES\text{'}P\text{'}}-V_{VPSS\text{'}P\text{'}}$

O sólido VUNES'P' é um prisma de base UNE e altura VU, assim:

$V_{VUNES\text{'}P\text{'}}=6·12=72$ cm³

O sólido VPSS'P' se trata de uma pirâmide de base trapezoidal em que $SS\text{'}=12-10=2$ cm, $PP\text{'}=12-8=4$ cm, $P\text{'}V=NU=4$ cm e $S\text{'}P\text{'}=EN=3$ cm. Desta forma calculamos seu volume fazendo um terço do produto da área da base pela altura 

$V_{VPSS\text{'}P\text{'}}=\frac{\left({\displaystyle \frac{\left(2+4\right)·3}{2}}\right)·4}{3}$

$V_{VPSS\text{'}P\text{'}}=12$ cm³

Portanto:

$V=72-12$

$V=60$ cm³

3ª Resolução

Com os pontos Q e R podemos dividir o sólido em duas partes, uma pirâmide de base trapezoidal e um prisma reto de base triangular, como na imagem:

Perceba que o volume ($V$) do sólido VUNESP será dado por:

$V=V_{VRPQS}+V_{RUNEQP}$

O sólido VRPQS é a pirâmide de base trapezoidal mencionada em que $SQ=10-8=2$ cm, $VR=12-8=4$ cm e $RQ=UE=5$ cm.

Sua altura é definida pela distância do ponto P ao segmento RQ. Seja H o pé da perpendicular a RQ passando por P, podemos definir HP usando as relações Métricas no Triângulo Retângulo:

"O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos"

Segue que:

$RQ·HP=PQ·RP$

$5·HP=3·4$

$HP=\frac{12}{5}$

$HP=2,4$ cm

Seu volume portanto:

$V_{VRPQS}=\frac{\left({\displaystyle \frac{\left(2+4\right)·5}{2}}\right)·2,4}{3}$

$V_{VRPQS}=12$ cm³

O sólido RUNEQP é um prisma de mesma base que o tronco original e altura $QE=8$ cm. Assim:

$V_{RUNEQP}=\frac{3·4}{2}·8$

$V_{RUNEQP}=48$ cm³

Finalmente:

$V=12+48$

$V=60$ cm³