Questão 81 Unesp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 81

Ondas estacionárias em cordas

Nos instrumentos musicais de corda, as cordas apresentam diferentes espessuras e diferentes densidades lineares de massa, para que aquelas que emitem sons mais graves não precisem ser muito longas, o que inviabilizaria a construção do instrumento.

Detalhes das cordas de um violoncelo

(pt.wikipedia.org)

Para ilustrar o fato de que cordas que emitem sons mais graves precisariam ser muito longas, considere duas cordas, 1 e 2, ambas com extremidades fixas, que apresentem espessuras iguais, mesma densidade linear de massa e que estejam submetidas à mesma força de tração.

Quando essas cordas vibram em seus modos fundamentais, a frequência da onda sonora emitida pela corda 1 é 150 vezes maior do que a frequência da onda sonora emitida pela corda 2. Sabendo que a corda 1 mede $L_{1} = 5 cm$ , o comprimento $L_{2}$ da corda 2 deve ser de

a)	7,5 m.
b)	8,0 m.
c)	5,0 m.
d)	2,5 m.
e)	1,5 m.

Resolução

O módulo da velocidade $v$ de uma onda que se propaga em uma corda tensionada depende da densidade linear de massa $λ$ da corda e da intensidade da força tensora $T$ aplica em suas extremidades: $v = \sqrt{\frac{T}{λ}}$ . Como as cordas 1 e 2 possuem as mesmas densidades lineares de massa e estão sob forças tensoras de mesma intensidade, as velocidades das ondas que se propagam em ambas são iguais: $v_{1} = v_{2}$ .

No modo de vibração fundamental, o comprimento $L$ de uma corda presa em ambas as extremidades corresponde à metade do comprimento de onda da onda estacionária:

$L = \frac{λ_{0}}{2} \Rightarrow λ_{0} = 2 L .$

Usando a relação fundamental da ondulatória, podemos determinar expressões para as frequências destas ondas em função dos outros parâmetros:

$v = λ_{0} \cdot f \Rightarrow$

$f = \frac{v}{λ_{0}} = \frac{v}{2 L} .$

Segundo o enunciado, $f_{1} = 150 f_{2}$ e $L_{1} = 5 cm = 0, 05 m$ , portanto

$\frac{v_{1}}{2 L_{1}} = 150 \frac{v_{2}}{2 L_{2}} \Rightarrow$

$L_{2} = 150 L_{1} = 150 \cdot 0, 05 \Rightarrow$

$L_{2} = 7, 5 m .$

Com isso, a alternativa correta é a a.