Questão 86 Unesp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 86

Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo Áreas de quadriláteros

Na figura, BELO é um losango com vértices E e O nos lados $\bar{B A}$ e $\bar{L U}$ , respectivamente, do retângulo BALU. A diagonal $\bar{B L}$ de BALU forma um ângulo de $30 °$ com o lado $\bar{L U}$ , como mostra a figura.

Se a medida do lado do losango BELO é igual a 2 cm, a área do retângulo BALU será igual a:

a)	$\frac{3 \sqrt{3}}{2} c m^{2}$
b)	$3 \sqrt{3} c m^{2}$
c)	$5 \sqrt{3} c m^{2}$
d)	$\frac{7 \sqrt{3}}{2} c m^{2}$
e)	$2 \sqrt{3} c m^{2}$

Resolução

O quadrilátero BELO é um losango, logo podemos afirmar que todos os lados são congruentes, medindo 2 cm. Consequentemente, o triângulo BLO é isósceles de base $B L$ , assim $m (O \hat{B} L) = m (B \hat{L} O) = 30 °$ .

No losango, suas diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos, assim $m (L \hat{B} E) = m (O \hat{B} L) = 30 °$ .

Então concluímos que a medida do ângulo $U \hat{B} O$ é $90 ° - (30 ° + 30 °) = 30 °$ , como na figura a seguir.

Aplicando as relações trigonométricas no triângulo retângulo BOU, encontramos:

$sen 30 ° = \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow x = 1 c m$ ;

$\cos 30 ° = \frac{y}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow y = \sqrt{3} c m$ .

Então o retângulo BALU têm lados medindo $1 + 2 = 3 c m$ e $\sqrt{3} c m$ .

Portanto sua área é $3 \sqrt{3} c m^{2}$ .