Questão 89 Unesp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 89

Volume do Prisma

De um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm por $6 \sqrt{2} c m$ por $6 \sqrt{2} c m$ serão retirados dois cubos, cujos lados medem x cm. Esses cubos têm três arestas contidas em três arestas do paralelepípedo e uma das faces contida em uma mesma face quadrada do paralelepípedo.

Ao adotar o valor máximo para x, o volume do prisma remanescente, após a retirada dos cubos, será igual a:

a)	$36 (40 - 3 \sqrt{2}) c m^{3}$
b)	$108 (10 - \sqrt{2}) c m^{3}$
c)	$30 (9 - \sqrt{3}) c m^{3}$
d)	$36 (10 - 3 \sqrt{2}) c m^{3}$
e)	$30 (10 - 3 \sqrt{2}) c m^{3}$

Resolução

A face quadrada do paralelepípedo é também a que possui suas duas menores dimensões. Assim, basta analisar a visão frontal dessa face quadrada para obter o maior valor $x$ das arestas dos cubos.

Há duas maneiras de se retirar os dois cubos do paralelepípedo satisfazendo as três condições dadas. Em ambas, o valor máximo para $x$ é metade da aresta da face quadrada do prisma, ou seja, $x = 3 \sqrt{2}$ cm:

a interseção entre os dois cubos é uma aresta:

a interseção entre os dois cubos é uma face:

No primeiro caso, o sólido obtido terá o seguinte formato

Já o formato do sólido obtido no segundo caso será

O volume remanescente será a diferença entre o volume do prisma inicial e o volume dos dois cubos, ou seja:

$V = (6 \sqrt{2}) \cdot (6 \sqrt{2}) \cdot 20 - 2 \cdot {(3 \sqrt{2})}^{3} V = 36 \cdot 40 - 36 \cdot 3 \sqrt{2} V = 36 \cdot (40 - 3 \sqrt{2}) {cm}^{3}$

Observação: Ao contrário do mencionado no enunciado, o sólido obtido após a remoção dos dois cubos não é um prisma.