Questão 126 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 126

Sistemas Conservativos na Dinâmica Resultante Centrípeta

Um pai faz um balanço utilizando dois segmentos paralelos e iguais da mesma corda para fixar uma tábua a uma barra horizontal. Por segurança, opta por um tipo de corda cuja tensão de ruptura seja $25 %$ superior à tensão máxima calculada nas seguintes condições:

• O ângulo máximo atingido pelo balanço em relação à vertical é igual a $90^{°}$ ;

• Os filhos utilizarão o balanço até que tenham uma massa de $24 kg$ .

Além disso, ele aproxima o movimento do balanço para o movimento circular uniforme, considera que a aceleração da gravidade é igual a $10 \frac{m}{s^{2}}$ e despreza forças dissipativas.

Qual é a tensão de ruptura da corda escolhida?

a)	$120 N$ .
b)	$300 N$ .
c)	$360 N$ .
d)	$450 N$ .
e)	$900 N$ .

Resolução

A imagem a seguir ilustra o balanço quando ele está na vertical e quando ele atinge a sua altura máxima (ângulo de 90^o com a vertical). Quando o balanço está se movendo com esta amplitude teremos a situação com maior velocidade e a situação que exige mais da corda.

O balanço para momentaneamente quando atinge a altura máxima e ganha velocidade a medida que retorna à posição em que a corda está na vertical. Como não há forças dissipativas presentes, há conservação de energia mecânica neste movimento. A energia mecânica no alto da trajetória será igual à energia mecânica no ponto mais baixo da trajetória:

$E_{m e c e m c i m a} = E_{m e c e m b a i x o} \Rightarrow$

${(E_{c i n é t i c a} + E_{p o t e n c i a l})}_{e m c i m a} = {(E_{c i n é t i c a} + E_{p o t e n c i a l})}_{e m b a i x o} \Rightarrow$

$0 + m \cdot g \cdot L = \frac{m v^{2}}{2} + 0 \Rightarrow$

$v^{2} = 2 \cdot g \cdot L .$ (1)

Esta é a velocidade com a qual o balanço passa pelo ponto mais baixo da trajetória.

O ponto mais baixo da trajetória é o que exigirá mais da corda e, de acordo com o enunciado, podemos lidar com o problema como um movimento circular uniforme. Nessas condições temos:

$F_{c} = m \cdot \frac{v^{2}}{L} \Rightarrow$

$2 T - P = m \cdot \frac{v^{2}}{L} .$ (2)

O fator 2 foi incluído pois trata-se de 2 cordas, cada uma contribuindo com tração $T$ .

Usando o resultado de (1) em (2):

$2 T - P = m \cdot \frac{2 \cdot g \cdot L}{L} \Rightarrow$

$2 \cdot T = m \cdot g + 2 m \cdot g \Rightarrow$

$T = \frac{3}{2} \cdot m \cdot g \Rightarrow$

$T = \frac{3}{2} \cdot 24 \cdot 10 \Rightarrow$

$T = 360 N .$

O enunciado nos fala que o pai deseja que a corda tenha "tensão de ruptura [que] seja 25% superior à tensão máxima calculada", portanto a tensão de ruptura será:

$1, 25 \cdot 360 = 450 N .$

Que corresponde à alternativa (d).