Questão 142 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 142

Volume (Cilindros)

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d'água (I , II , III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é $A_{b}$ , como segue:

modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d'água que ofereça a maior capacidade volumétrica.

O modelo escolhido deve ser o

a)	I.
b)	II.
c)	III.
d)	IV.
e)	V.

Resolução

Lembrando que o volume de um cilindro circular reto é dado pelo produto da área de sua base (que é um círculo) pela sua profundidade/altura, temos que se $R$ é o raio da base do cilindro do modelo I, seu volume é dado por:

$V_{I} = \underset{{πR}^{2}}{\underset{⏟}{A_{b}}} \cdot P$

Relativamente a essas dimensões, temos, nos outros modelos, que:

$V_{I I} = \frac{1}{2} A_{b} \cdot 2 P = A_{b} \cdot P = V_{I}$
$V_{I I I} = π {(\frac{R}{2})}^{2} \cdot 2 P = \frac{{πR}^{2}}{4} \cdot 2 P = \frac{\overset{A_{b}}{\overset{⏞}{{πR}^{2}}}}{2} \cdot P = \frac{V_{I}}{2}$
$V_{I V} = 2 A_{b} \cdot \frac{P}{2} = V_{I}$
$V_{V} = π {(2 R)}^{2} \cdot \frac{P}{2} = 4 \overset{A_{b}}{\overset{⏞}{{πR}^{2}}} \cdot \frac{P}{2} = 2 V_{I}$

Portanto, aquele que tem maior volume comparado ao volume do modelo I (ou seja, o de maior volume) é a caixa d'água do modelo V.

OBS: O aluno poderia resolver esta questão pensando que alterações nas dimensões do raio da base criam figuras/círculos semelhantes, causando assim, uma mudança no volume correspondente ao quadrado da razão de semelhança. Enquanto que uma mudança na profundidade causa uma alteração proporcional no volume.

Em outras palavras, a mudança de reduzir o raio da base pela metade no modelo III, faz com que a área seja reduzida a $\frac{1}{4}$ enquanto que dobrar a profundidade, faz o volume dobrar, fazendo com que a mudança final fosse de $\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$ do volume do modelo I.

Analogamente, ao dobrar o raio da base no modelo V, o volume seria multiplicado por 4, mas ao reduzir a profundidade pela metade, a mudança final foi de $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ vezes o volume do modelo I.

Já alterações na área da base, assim como na profundidade, são diretamente proporcionais a alterações de volume. Assim, no caso do modelo II ao reduzir a área da base pela metade e dobrar a profundidade, não se altera o volume. Pode-se tirar a mesma conclusão no caso análogo, presente no modelo IV.