Questão 145 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza
O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
| a) |
I |
| b) |
II |
| c) |
III |
| d) |
IV |
| e) |
V |
De acordo com o gráfico do enunciado (fora de escala), a cidade possui coordenadas , enquanto a cidade possui coordenadas .
Consideramos o ponto , obtido pela reflexão do ponto pelo eixo , bem como as reflexões das sugestões para a Rodovia 002. Note que as distâncias de aos pontos I, II, III, IV e V são iguais às respectivas distâncias de até esses pontos.
Então, para minimizar a soma dos trajetos da cidade para a cidade , passando pela Rodovia 003 (eixo ), basta considerar o menor caminho de até , o qual certamente intersecta o eixo .
O caminho que minimiza a distância do ponto ao ponto é um segmento de reta (menor distância entre dois pontos no plano). Desse modo, calculamos a equação da reta :
A interseção dessa reta com o eixo é o ponto , representado pelo ponto IV:
