Questão 152 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 152

Lei Binomial

A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão. Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre $\frac{1}{2}$ .

Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

a)	$\frac{35}{64}$
b)	$\frac{40}{64}$
c)	$\frac{42}{64}$
d)	$\frac{44}{64}$
e)	$\frac{52}{64}$

Resolução

Para que um time seja campeão ele deve completar 4 vitórias. Sendo, pelas condições apresentadas, a primeira vitória na primeira partida e a quarta vitória na última,tem-se os seguintes casos analisando para um time, e para o outro o resultado é análogo:

Caso 1: 4 vitórias em 4 jogos:

${(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16}$

logo, para dois times:

$2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$

Caso 2: 4 vitórias em 5 jogos, considerando que o primeiro e o último jogo serão vitórias:

$\overset{Vitória}{\overset{⏞}{(\frac{1}{2})}} \cdot \underset{2 Vitórias e 1 Derrota}{\underset{⏟}{\frac{3!}{2! 1!} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot (\frac{1}{2})}} \cdot \overset{Vitória}{\overset{⏞}{(\frac{1}{2})}} = \frac{3}{2^{5}} = \frac{3}{32}$

Note que o número de ordens em que um time pode ter 2 vitórias em 3 jogos é uma permutação de 3 elementos em que um deles ocorre duas vezes (permutação com repetição), logo, para dois times:

$2 \cdot \frac{3}{32} = \frac{3}{16}$

Caso 3: 4 vitórias em 6 jogos, considerando que o primeiro e o último jogo serão vitórias:

$\overset{Vitória}{\overset{⏞}{(\frac{1}{2})}} \cdot \underset{2 Vitórias e 2 Derrotas}{\underset{⏟}{\frac{4!}{2! 2!} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}} \cdot \overset{Vitória}{\overset{⏞}{(\frac{1}{2})}} = \frac{6}{2^{6}} = \frac{3}{32}$

Note que o número de ordens em que um time pode ter 2 vitórias e 2 derrotas em 4 jogos é uma permutação de 4 elementos com repetição em que há 2 tipos de elementos, cada um ocorrendo duas vezes, logo, para dois times:

$2 \cdot \frac{3}{32} = \frac{3}{16}$

Caso 4: 4 vitórias em 7 jogos, considerando que o primeiro e o último jogo serão vitórias:

$\overset{Vitória}{\overset{⏞}{(\frac{1}{2})}} \cdot \underset{2 Vitórias e 3 Derrotas}{\underset{⏟}{\frac{5!}{2! 3!} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}}} \cdot \overset{Vitória}{\overset{⏞}{(\frac{1}{2})}} = \frac{10}{2^{7}} = \frac{5}{64}$

Note que o número de ordens em que um time pode ter 2 vitórias e 3 derrotas em 5 jogos é uma permutação de 5 elementos com repetição em que há 2 tipos de elementos, um ocorrendo duas vezes e o outro ocorrendo 3 vezes, logo, para dois times:

$2 \cdot \frac{5}{64} = \frac{5}{32}$

Somando os casos:

$\frac{1}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} = \frac{21}{32} = \frac{42}{64}$