Questão 155 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 155

Sistemas Lineares Aritmética

Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100m.

No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será

a)	10.
b)	13.
c)	14.
d)	15.
e)	16.

Resolução

Sejam $x$ e $y$ os comprimentos do circuito maior e menor, respectivamente. Pelo enunciado, concluímos:

$\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 1800 \\ 2 x + y = 1100 \end{cases} \Rightarrow x = 400 m e y = 300 m$

Agora, no segundo dia, o corredor pretende percorrer 5000 metros fazendo número inteiro de voltas em torno dos circuitos. Sendo $m$ e $n$ os números de voltas nos circuitos maior e menor, respectivamente, temos:

$400 \cdot m + 300 \cdot n = 5000 \Rightarrow 4 m + 3 n = 50$

Ou seja:

$n = \frac{50 - 4 m}{3}$

Como precisamos maximizar o número total de voltas, podemos procurar o menor valor para $m$ de modo que $n$ seja inteiro. Isto é:

$m = 0$ : $n = \frac{50 - 4 \cdot 0}{3} = \frac{50}{3}$ (não convém)
$m = 1$ : $n = \frac{50 - 4 \cdot 1}{3} = \frac{46}{3}$ (não convém)
$m = 2$ : $n = \frac{50 - 4 \cdot 2}{3} = \frac{42}{3} = 14$

Logo, a soma do número de voltas em torno dos dois circuitos é $2 + 14 = 16 v o l t a s$ .