Questão 162 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 162

Probabilidade

Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.

O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.

A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é

a)	$\frac{1}{46} + \frac{1}{45}$
b)	$\frac{1}{46} + \frac{2}{46 \times 45}$
c)	$\frac{1}{46} + \frac{8}{46 \times 45}$
d)	$\frac{1}{46} + \frac{43}{46 \times 45}$
e)	$\frac{1}{46} + \frac{49}{46 \times 45}$

Resolução

Pedro pode ganhar de 3 maneiras:

(I) O número 12 saindo logo na quinta rodada. Nesse caso, temos:

$p_{1} = \frac{1}{46}$

(II) O número 12 não sair na quinta rodada, mas sair na sexta rodada. Nesse caso, temos:

$p_{2} = \frac{45 \cdot 1}{46 \cdot 45}$

(III) Ele tirar, na quinta e sexta rodadas, alguma das sequências que faz ele ganhar pela diagonal, que seriam (11,19) ou (19,11), ou pela coluna mais à direita, que seriam (05,45) ou (45,05). Nesse caso, temos:

$p_{3} = \frac{4}{46 \cdot 45}$

Assim, sendo os casos (I), (II) e (III) disjuntos, a probabilidade $p$ de Pedro ganhar em uma das duas próximas rodadas é dada por:

$p = p_{1} + p_{2} + p_{3} = \frac{1}{46} + \frac{45}{46 \cdot 45} + \frac{4}{46 \cdot 45} \Leftrightarrow p = \frac{1}{46} + \frac{49}{46 \cdot 45}$