Questão 172 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 172

Razão e Proporção

A luminosidade L de uma estrela está relacionada com o raio R e com a temperatura T dessa estrela segundo a Lei de Stefan-Boltzmann: $L = c \cdot R^{2} \cdot T^{4}$ , em que c é uma constante igual para todas as estrelas.

Disponivel em: http://ciencia.hsw.uol.com.br. Acesso em: 22 nov. 2013 (adaptado).

Considere duas estrelas E e F, sendo que a estrela E tem metade do raio da estrela F e o dobro da temperatura de F.

Indique por L_E e L_F suas respectivas luminosidades. A relação entre as luminosidades dessas duas estrelas é dada por

a)	$L_{E} = \frac{L_{F}}{2}$
b)	$L_{E} = \frac{L_{F}}{4}$
c)	$L_{E} = L_{F}$
d)	$L_{E} = 4 L_{F}$
e)	$L_{E} = 8 L_{F}$

Resolução

Sejam $R_{F}$ o raio da estrela F e $T_{F}$ sua temperatura, então

$L_{F} = c \cdot {R_{F}}^{2} \cdot {T_{F}}^{4}$

Como a estrela E tem metade do raio de F e o dobro da sua temperatura, temos:

$L_{E} = c \cdot {(\frac{R_{F}}{2})}^{2} \cdot {(2 T_{F})}^{4} = c \cdot \frac{{R_{F}}^{2}}{4} \cdot 16 {T_{F}}^{4} = 4 \cdot c \cdot {R_{F}}^{2} \cdot {T_{F}}^{4}$

Ou seja,

$L_{E} = 4 L_{F}$

OBS: Note que como o raio aparece elevado ao quadrado na Lei de Stefan-Boltzmann, ao ser reduzido à metade, ele altera a luminosidade de acordo com o quadrado deste valor, ou seja, $\frac{1}{4}$ . Já a temperatura, por estar elevada à quarta potência, ao ser duplicada, altera a luminosidade de acordo com a quarta potência deste valor, ou seja, $2^{4} = 16$ .

A combinação destas duas alterações faz com que a luminosidade da estrela E seja $\frac{1}{4} \cdot 16 = 4$ vezes a luminosidade de F.