Questão 174 Enem 2022 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 174

Vértice da parábola

Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola $y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{7 x}{3} + 12$ , em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representada na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetas desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:

    • ginásio I: 17m;
    • ginásio II: 18 m;
    • ginásio III: 19 m;
    • ginásio IV: 21 m;
    • ginásio V: 40 m.

O saque desse atleta foi invalidado

a)	apenas no ginásio I.
b)	apenas nos ginásios I e II.
c)	apenas nos ginásios I, II, e III.
d)	apenas nos ginásios I, II, III e IV.
e)	em todos os ginásios.

Resolução

A altura (y) máxima atingida - a partir do 1,5 m do piso - pela bola no saque é dada pela coordenada y do vértice da parábola que descreve a trajetória da bola que, segundo o enunciado, é dada por

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{7 x}{3} + 12$

Lembre-se que, para determinar a coordenada y do vértice de uma função quadrática da forma $y = a x^{2} + b x + c$ devemos calcular

$y_{V} = - \frac{∆}{4 a}$ ,

onde $∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Neste caso,

$y_{V} = \frac{- ({(- \frac{7}{3})}^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{6}) \cdot 12)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})} = \frac{- (\frac{49}{9} + \frac{48}{6})}{- \frac{4}{6}} = \frac{\frac{121}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{121}{6} \approx 20, 16 m$

Como esta altura foi calculada a 1,5 m do piso, a altura máxima atingida - a partir do chão - foi de, aproximadamente,

$20, 16 + 1, 5 = 21, 66 m$

Como os ginásios I, II, III e IV têm uma altura menor que este valor, o saque é invalidado nestes locais.