Questão 2 Unifesp 2023- 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Teorema de Pitágoras Áreas de quadriláteros Teorema dos Cossenos

Um fio retilíneo de arame de comprimento de 9,25 cm será dobrado, em ângulos retos, em dois pontos, Q e R. Tais dobras produzem três segmentos de retas de medidas: PQ = 4 cm, QR = 3 cm e $R S = 2, 25 c m = \frac{9}{4} c m$ . Já com as dobras, o fio de arame deverá encaixar-se perfeitamente no quadrado TSUP, de diagonal $P S$ , como mostram as figuras.

a) Calcule a medida do segmento $P R$ , em centímetros, e a medida do segmento $Q S$ , em milímetros.

b) Calcule a área do quadrado TSUP, em $c m^{2}$ .

Resolução

a) Perceba que para calcular tanto $P R$ quanto $Q S$ basta determinarmos a hipotenusa dos triângulos $P Q R$ e $Q R S$ respectivamente.

Pelo Teorema de Pitágoras em PQR, temos:

${P R}^{2} = {P Q}^{2} + {Q R}^{2} \Leftrightarrow$

${P R}^{2} = 3^{2} + 4^{2} \Leftrightarrow$

${P R}^{2} = 25 \Leftrightarrow$

$P R = 5 c m$

E pelo Teorema de Pitágoras em QRS, temos:

${Q S}^{2} = {Q R}^{2} + {R S}^{2} \Leftrightarrow$

${Q S}^{2} = 3^{2} + {(\frac{9}{4})}^{2} \Leftrightarrow$

${Q S}^{2} = 9 + \frac{81}{16} \Leftrightarrow$

${Q S}^{2} = \frac{225}{16} \Leftrightarrow$

$Q S = \frac{15}{4} \Leftrightarrow$

$Q S = 3, 75 cm \Leftrightarrow$

$Q S = 37, 5 mm$

b) Seja $L$ a medida do lado do quadrado $T S U P$ , perceba que $P S$ é uma de suas diagonais e portanto apresenta medida igual a $L \sqrt{2}$ . Desta forma, considere o triângulo $P R S$ e o ângulo $α$ como na imagem a seguir:

No triângulo $P R S$ , pela Lei dos Cossenos, podemos excrever:

${P S}^{2} = P R^{2} + {R S}^{2} - 2 \cdot P R \cdot R S \cdot \cos (90 + α)$

Substituindo as medidas:

${(L \sqrt{2})}^{2} = 5^{2} + {(\frac{9}{4})}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot \frac{9}{4} \cdot \cos (90 + α) \Leftrightarrow$

$2 L^{2} = 25 + \frac{81}{16} - \frac{45}{2} \cdot \cos (90 + α) \Leftrightarrow$

$L^{2} = \frac{25}{2} + \frac{81}{32} - \frac{45}{4} \cdot \cos (90 + α) (I)$

Agora, usando a Soma de Arcos podemos determinar o valor do $\cos (90 + α)$ uma vez que o triângulo $P Q R$ é retãngulo e nos permite determinar com facilidade as razões trigonométicas.

$\cos (90 + α) = \cos 90 \cdot \cos α - sen 90 \cdot sen α \Leftrightarrow$

$\cos (90 + α) = 0 \cdot \cos α - 1 \cdot sen α \Leftrightarrow$

$\cos (90 + α) = - sen α$

Podemos observar no triângulo PQR:

$sen (α) = \frac{P Q}{P R} \Leftrightarrow sen (α) = \frac{4}{5}$

Logo,

$\cos (90 + α) = - \frac{4}{5}$

Substituindo em ( I ), segue que:

$L^{2} = \frac{25}{2} + \frac{81}{32} - \frac{45}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) \Leftrightarrow$

$L^{2} = \frac{25}{2} + \frac{81}{32} + 9 \Leftrightarrow$

$L^{2} = \frac{769}{32}$

A área ( $A$ ) do quadrado $T S U P$ de lado medindo $L$ é dada por $L^{2}$ , portanto:

$A = \frac{769}{32} {cm}^{2}$

Solução alternativa

Podemos prolongar o segmento $P Q$ e traçar um segmento paralelo a $R Q$ passando por S. Denotemos por V a intersecção entre esses segmentos, conforme a figura abaixo:

Sendo L o lado do quadrado, como visto na resolução anterior $P S = L \sqrt{2}$ .

Além disso,

$\{\begin{array}{l} P V = P Q + Q V \\ R S = Q V \\ S V = R Q \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} P V = P Q + R S \\ S V = R Q \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} P V = 4 + \frac{9}{4} \\ S V = 3 \end{array} \Leftrightarrow$

$\{\begin{cases} P V = \frac{25}{4} \\ S V = 3 \end{cases}$

Deste modo, pelo teorema de Pitágoras no triângulo PSV, temos:

$P S^{2} = P V^{2} + S V^{2} \Leftrightarrow {(L \sqrt{2})}^{2} = {(\frac{25}{4})}^{2} + 3^{2} \Leftrightarrow 2 L^{2} = \frac{625}{16} + 9 \Leftrightarrow$

$2 L^{2} = \frac{769}{16} \Leftrightarrow L^{2} = \frac{769}{32} {cm}^{2} = A$