Questão 3 Unifesp 2023- 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Funções Circulares

Cientistas usam os mesmos termos do gráfico da função seno para descrever as ondas marítimas. O período de uma onda marítima é o intervalo de tempo entre uma crista e a seguinte e a distância entre elas é o comprimento da onda. A figura descreve, no plano cartesiano, uma onda marítima, em que o eixo vertical representa a altura das cristas da onda, e o eixo horizontal representa a distância percorrida pela onda.

a) Sendo $f : ℝ \to ℝ$ , tal que $f (x) = m + sen (n \cdot x)$ , a função referente ao gráfico apresentado, determine m e n.

b) Uma onda marítima foi modelada por meio da função $g : ℝ \to ℝ$ , tal que $g (x) = 3 + sen (\frac{πx}{2})$ . Determine a altura de suas cristas e o comprimento da onda.

Resolução

a) Pelo gráfico, a função f passa pelo ponto $(0, 1)$ . Desse modo:

$(0, 1) \in f : f (0) = m + sen (n \cdot 0) = 1 \Rightarrow m = 1$

O comprimento de onda nos fornece o período da função, assim:

$λ = 25 - 5 = \frac{2 π}{|n|} \Rightarrow |n| = \frac{π}{10} ∴ n = \frac{π}{10} o u n = - \frac{π}{10}$

Porém, pelo gráfico, como a crista acontece para $x = 5$ , descartamos a possibilidade de $n = - \frac{π}{10}$ . Portanto, $n = \frac{π}{10}$ .

b) Para determinarmos a altura de suas cristas, basta determinarmos o máximo da função. Veja que:

$\underset{+ 3}{\underset{⏟}{- 1}} \leq \underset{+ 3}{\underset{⏟}{sen (\frac{πx}{2})}} \leq \underset{+ 3}{\underset{⏟}{1}} \Rightarrow 2 \leq 3 + sen (\frac{πx}{2}) \leq 4$

Isto é:

$2 \leq \underset{g (x)}{\underset{⏟}{3 + sen (\frac{πx}{2})}} \leq 4$

Portanto, o valor máximo da g é igual a 4. Logo, a crista tem 4 m.

Agora, o comprimento da onda é dado pelo período da função:

$λ = \frac{2 π}{|\frac{π}{2}|} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4$

Portanto, o comprimento da onda é igual a 4 m.