Questão 4 Unifesp 2023- 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Razão e Proporção

Renato foi ao jornaleiro comprar pacotes de figurinhas. Se cada pacote custasse 35 centavos a menos, Renato poderia ter comprado 4 pacotes a mais com os R$136,80 que gastou, e lhe sobrariam 30 centavos de troco.

a) Denote por x a quantidade de pacotes de figurinhas comprados por Renato e por y o preço de cada pacote de figurinha. Exiba um sistema de equações com as incógnitas x e y.

b) Sendo x a quantidade de pacotes de figurinhas compradas, exiba a equação polinomial do 2º grau, na forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , com coeficientes a, b e c inteiros positivos e máximo divisor comum entre a, b e c igual a 1, que tem x como uma de suas raízes.

Resolução

a) Perceba que, no primeiro momento, Renato comprou $x$ pacotes de figurinhas custando $y$ reais gastando, no total, R$ 136,80. Isto é:

$x \cdot y = 136, 80$

Porém, se o preço tivesse sido 35 centavos a menos, ou seja, $y - 0, 35$ , Renato poderia ter comprado 4 pacotes a mais, que totaliza $x + 4$ . Ainda, nessa compra, receberia troco de 30 centavos. Em outra linguagem:

$(x + 4) \cdot (y - 0, 35) = 136, 80 - 0, 30 = 136, 50$

Portanto, o sistema é dado por:

$\{\begin{cases} x \cdot y = 136, 80 \\ (x + 4) \cdot (y - 0, 35) = 136, 50 \end{cases}$

b) Fazendo distributiva na segunda equação do sistema acima, temos:

$x y - 0, 35 x + 4 y - 1, 4 = 136, 50$

Pela primeira equação, podemos substituir $x \cdot y$ por $136, 80$ :

$136, 80 - 0, 35 x + 4 y - 1, 4 = 136, 50 \Rightarrow y = \frac{0, 35 x + 1, 1}{4}$

Substituindo na primeira e organizando, temos:

$\begin{array}{rcl} x \cdot (\frac{0, 35 x + 1, 1}{4}) & = & 136, 80 \Leftrightarrow \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 0, 35 x^{2} + 1, 1 x & = & 547, 20 \Leftrightarrow \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 35 x^{2} + 110 x - 54720 & = & 0 \Leftrightarrow \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 7 x^{2} + 22 x - 10944 = 0 \end{array}$