Questão 1 Unifesp 2023- 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Lançamento não Vertical Energia Cinética na Dinâmica Movimento Uniformemente Variado

Uma bola de 0,4 kg é chutada com velocidade inicial $V_{0} = 20 m / s$ do ponto A, na encosta de um morro, e, depois de descrever um arco de parábola no ar, toca novamente a encosta desse morro no ponto C, que está verticalmente 15 m abaixo do ponto A. No percurso do ponto A ao ponto C, a bola atinge o ponto B, ponto mais alto de sua trajetória, conforme mostra a figura.

Sabendo que, no momento do chute, a velocidade inicial da bola está inclinada de 30º com a horizontal, desprezando a resistência do ar e adotando $g = 10 m / s^{2}$ , calcule:

a) a energia cinética da bola, em joules, imediatamente após o chute e imediatamente antes de tocar o solo, no ponto C.

b) a distância vertical $h$ , em metros, entre o ponto A e o ponto B. Em seguida, calcule o tempo, em segundos, para que a bola vá do ponto A ao ponto C.

Resolução

a) A energia cinética de um corpo de massa m, movendo-se com velocidade v, é dada por

$E_{C} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Como a massa da bola é 0,4 kg e a sua velocidade inicial era 20 m/s, a sua energia cinética imediatamente após o chute era

$E_{C} = \frac{0, 4 \cdot 20^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{C} = 80 J$ .

A velocidade inicial da bola pode ser decomposta em suas componentes horizontal (v_x) e vertical (v_y):

$v_{x} = v_{0} \cdot \cos 30 ° \Rightarrow v_{x} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow v_{x} = 10 \cdot \sqrt{3} m / s .$

$v_{y} = v_{0} \cdot sen 30 ° \Rightarrow v_{y} = 20 \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow v_{y} = 10 m / s .$

A componente horizontal da velocidade (v_x) permanece constante, mas a componente vertical sofre a ação da aceleração gravitacional. Logo, no momento em que a bola toca o solo, sua intensidade é dada por

$v {'_{y}}^{2} = v {_{y}}^{2} + 2 \cdot a \cdot Δ y \Rightarrow v {'_{y}}^{2} = 10^{2} + 2 \cdot (- 10) \cdot (- 15) \Rightarrow v {'_{y}}^{2} = 400 \Rightarrow v'_{y} = 20 m / s .$

Consequentemente, a velocidade da bola ao tocar o solo é

$v'^{2} = {v_{x}}^{2} + {v'_{y}}^{2} \Rightarrow v'^{2} = {(10 \cdot \sqrt{3})}^{2} + 20^{2} = 700 \Rightarrow v' = \sqrt{700} m / s .$

Finalmente, a energia cinética da bola ao tocar o solo é

$E_{C} = \frac{0, 4 \cdot {\sqrt{700}}^{2}}{2} \Rightarrow$

$E_{C} = 140 J .$

Resposta: A energia cinética da bola no instante do chute era 80 J e, no instante em que toca o solo, 140 J.

b) A componente vertical da velocidade da bola é nula no ponto mais alto da trajetória, ou seja, v_By = 0 m/s.

Usando a equação de Torricelli, temos

$v {_{B y}}^{2} = v {_{y}}^{2} + 2 \cdot a \cdot Δ y_{A B} \Rightarrow 0 = 10^{2} + 2 \cdot (- 10) \cdot h \Rightarrow h = 5 m .$

Para determinar o tempo exato em que a bola chega ao ponto C, podemos utilizar a função horária do MUV:

$Δ y = v_{y} \cdot t + \frac{g . t^{2}}{2} \Rightarrow - 15 = 10 \cdot t + \frac{(- 10) \cdot t^{2}}{2} \Rightarrow t^{2} - 2 \cdot t - 3 = 0 .$

Calculando os valores de t que satisfaz a equação:

$t = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1} \Rightarrow t = 3 s ou t = - 1 s .$

Como o instante $t = - 1 s$ não se aplica ao problema, temos $t = 3 s$ .

Resposta: $h = 5 m e Δ t = 3 s .$