Questão 3 Unifesp 2023- 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Equilíbrio de Corpos Extensos Lei de Snell-Descartes Espelhos planos

Uma pessoa de 70 kg está em repouso na extremidade de uma tábua rígida de massa desprezível, mantida em equilíbrio na direção horizontal e presa na borda de um tanque contendo água. Dessa posição, a pessoa consegue ver a imagem de um peixe parado dentro do tanque. Na figura, está representado um raio de luz proveniente do peixe, que atinge o olho dessa pessoa.

a) Sabendo que a tábua é presa à borda do tanque por um único pino P, indicado na figura, e adotando $g = 10 m / s^{2}$ , calcule, em newtons, a intensidade da força aplicada pela pessoa sobre a tábua e a intensidade da força aplicada pelo pino sobre a tábua.

b) Considerando o índice de refração relativo da água em relação ao ar igual a $\sqrt{2}$ , obtenha o ângulo θ, indicado na figura. Em seguida, sabendo que os olhos dessa pessoa estão a 1,5 m de altura da tábua, calcule a distância, em metros, entre os olhos da pessoa e a imagem da extremidade E da tábua, formada pela superfície da água do tanque, considerando essa superfície como um espelho plano.

Resolução

a) A intensidade da força aplicada pela pessoa sobre a tábua é igual à da força Normal que atua sobre a pessoa (por formarem um par de ação e reação) que, por sua vez, é igual ao peso da pessoa. Ou seja,

$|{\vec{F}}_{P E S S O A}| = |\vec{N}| = |\vec{P}| \Rightarrow |{\vec{F}}_{P E S S O A}| = m \cdot g \Rightarrow |{\vec{F}}_{P E S S O A}| = 70 \cdot 10 \Rightarrow |{\vec{F}}_{PESSOA}| = 700 N .$

Aplicando a condição de equilíbrio rotacional sobre a tábua (momento resultante igual a zero), temos

$|{\vec{F}}_{P I N O}| \cdot 0, 6 m = |{\vec{F}}_{P E S S O A}| \cdot 1, 2 m \Rightarrow |{\vec{F}}_{P I N O}| \cdot 0, 6 = 700 \cdot 1, 2 \Rightarrow |{\vec{F}}_{PINO}| = 1400 N .$

Resposta: A força aplicada pela pessoa sobre a tábua tem intensidade de 700 N, enquanto a força aplicada pelo pino sobre a tábua tem intensidade de 1400 N.

b) Utilizando a Lei de Snell-Descartes, temos

$n_{á g u a} \cdot sen θ = n_{a r} \cdot sen 45 ° \Rightarrow sen θ = \frac{n_{a r}}{n_{á g u a}} \cdot sen 45 ° \Rightarrow sen θ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 30 ° .$

Note que o exercício forneceu o índice de refração da água em relação ao ar, e não o índice de refração absoluto dos dois meios. Ou seja,

$\frac{n_{á g u a}}{n_{a r}} = \sqrt{2} \Rightarrow \frac{n_{a r}}{n_{á g u a}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Considerando que a superfície do lago se comporta como um espelho plano e que o ponto E está 0,6 m acima dessa superfície, a sua imagem estará 0,6 m abaixo da superfície (veja figura abaixo). Assim, a distância dos olhos do observador até a imagem do ponto E será

$d = 1, 5 m + 0, 6 m + 0, 6 m \Rightarrow d = 2, 7 m .$

Resposta: O ângulo $θ$ vale 30° e a distância entre os olhos da pessoa e a imagem do ponto E da tábua é 2,7 m.