Questão 4 Unifesp 2023- 2º dia

a) Podemos determinar a velocidade da onda determinando a velocidade com a qual uma frente de onda está se deslocando.

As setas na imagem acima foram colocadas na crista da onda. Podemos ver que essa frente de onda se deslocou por 6 m entre as imagens. Isso foi feito ao longo de 3 s (dado do enunciado). Como a onda se propaga com velocidade constante podemos determinar a sua velocidade usando a equação para cálculo da velocidade em um movimento uniforme:

$$\begin{gathered} v=\frac{∆S}{∆t}=\frac{6 \mathrm{m}}{3 \mathrm{s}}\Rightarrow \\ \boxed{\mathrm{v}=2 \mathrm{m}/\mathrm{s}}. \end{gathered}$$

Podemos, então, olhar a figura 2 e notar que o valor de 6m corresponde a 3/4 de um comprimento de onda ($\lambda$) da onda em questão. 

Portanto:

$$\begin{gathered} 6=\frac{3}{4}·\lambda \Rightarrow \\ \lambda =6·\frac{4}{3}\Rightarrow \\ \mathrm{\lambda }=8 \mathrm{m}. \end{gathered}$$

Lembrando que a frequência (f), o comprimento de onda e a velocidade de propagação de uma onda se relacionam por $v = \lambda ·f$, teremos:

$$\begin{gathered} v = \lambda ·f\Rightarrow \\ 2 = 8·f\Rightarrow \\ f=\frac{2}{8}\Rightarrow \\ \boxed{f=0,25 \mathrm{Hz}}. \end{gathered}$$

Respostas: $v=2 \mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $f=0,25 \mathrm{Hz}$.

b) Ao longo dos 3 s mencionados, se houvéssemos acompanhado o banhista teríamos visto ele sair de sua posição original, atingir a altura máxima (subir 1 m), retornar à posição original (descer 1m) e atingir o mínimo de altura (descer mais 1 m). Como a onda se propaga para a direita há uma crista passando por onde o banhista se encontra antes que ele chegue no vale em que se enocntra. Isso significa que ele percorreu uma distância de 3 m ao longo desses 3 segundos. Com isso sua velocidade escalar média seria:

$$\begin{gathered} v_{em}=\frac{dist}{∆t}=\frac{3 \mathrm{m}}{3 \mathrm{s}}\Rightarrow \\ \boxed{{\mathrm{v}}_{\mathrm{em}}=1 \mathrm{m}/\mathrm{s}}. \end{gathered}$$

Observação: Note que neste exercício é pedido a velocidade escalar média e não a velocidade média. Caso buscássemos a velocidade média, que corresponde à razão do deslocamento do objeto pelo tempo associado, teríamos, em módulo: $v_m=\frac{∆s}{∆t}=\frac{1 \mathrm{m}}{3 \mathrm{s}}=\frac{1}{3} \mathrm{m}/\mathrm{s}$.

A equação que descreve a velocidade transversal de uma onda periódica cossenoidal é dada por:

$v(x,t) = 2\pi f·A·\mathrm{sen}(2\pi f·t-\frac{2\pi }{\lambda }·x)$

onde A é a amplitude vertical de oscilação da onda. O valor máximo desta velocidade ocorre quando o seno é igual a 1. Nestas condições temos:

$$\begin{gathered} v_{max}=2\pi f·A = 2·3·0,25·1\Rightarrow \\ \boxed{{\mathrm{v}}_{\max }=1,5 \mathrm{m}/\mathrm{s}}. \end{gathered}$$.

Observação: Alternativamente poderíamos ter usado diretamente que $v_{max} = \omega ·A = 2\pi f·A$, onde $\omega$ é a frequência angular associada ao movimento periódico.

Respostas: $v_{em}=1 \mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $v_{max}=1,5 \mathrm{m}/\mathrm{s}$.