Questão 1 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Função Afim

Duas empresas de entrega de mercadorias, 𝐴 e 𝐵, são concorrentes. A empresa 𝐴 cobra R$ 4,00 por quilo da encomenda e mais R$ 30,00 de taxa fixa. Já a tarifa da empresa 𝐵 é de R$ 6,00 por quilo, sem taxa fixa, para encomendas de até 30 quilos; para encomendas de mais de 30 quilos, a empresa 𝐵 cobra R$ 2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R$ 120,00.

a) Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa 𝐴 em termos do peso 𝑥 da encomenda.

b) Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa 𝐴 do que pela empresa 𝐵?

c) Um cliente solicitou duas encomendas: uma entregue pela empresa 𝐴, e outra, pela empresa 𝐵, com peso total de 200 quilos. Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas, sabendo que a tarifa de entrega total foi de R$ 850,00?

Resolução

a) Podemos notar que a função que determina a tarifa cobrada pela empresa A é uma função afim, onde o custo variável representa o coeficiente angular e o custo fixo representa o coeficiente linear (intercepto vertical). Deste modo, temos:

$A (x) = 4 x + 30$

b) Dada a função do custo da empresa A no item anterior, o custo da empresa B será analogamente determinado por funções polinomiais de primeiro grau. Entretanto, a empresa B terá a função de sua tarifa determinada em duas partes. Uma parte para valores de x menores ou iguais a 30 quilos e outra para valores que superam 30 quilos. Deste modo, temos:

$B (x) = \{\begin{cases} 6 x, se 0 < x \leq 30 \\ 2 x + 120, se x > 30 \end{cases}$

SOLUÇÃO 1:

Para determinarmos o intervalo de "pesos" no qual a empresa A é mais vantajosa que a empresa B faremos o gráfico de cada uma das funções de modo a melhor ilustrar a situação. Observe a figura:

Observe acima que a função da tarifa de A intercepta a função da tarifa de B em dois pontos, sendo uma intersecção com a primeira parte da função de B e a segunda com a segunda parte da função de B. Note também, que será mais barato a encomenda em A justamente entre esses dois pontos de intersecção, onde o gráfico de A está abaixo do gráfico de B. Deste modo, encontrando os valores de x para a intersecção dos gráficos, temos:

$4 x + 30 = 6 x \Leftrightarrow 2 x = 30 \Leftrightarrow x = 15 kg$

$4 x + 30 = 2 x + 120 \Leftrightarrow 2 x = 90 \Leftrightarrow x = 45 kg$

Logo, é mais barato pedir na empresa a quando $15 < x < 45$ .

SOLUÇÃO 2:

Podemos também analisar quando a tarifa da empresa A é mais barata utilizando desigualdades.

i) Se $x \leq 30$ , temos:

$A (x) < B (x) \Leftrightarrow 4 x + 30 < 6 x \Leftrightarrow - 2 x + 30 < 0 \Leftrightarrow - x < - 15 \Leftrightarrow x > 15$

Logo, considerando a condição inicial, temos que a empresa A é mais vantajosa inicialmente para $15 < x \leq 30$ .

ii) Se $x > 30$ , temos:

$A (x) < B (x) \Leftrightarrow 4 x + 30 < 2 x + 120 \Leftrightarrow 2 x + 30 < 120 \Leftrightarrow 2 x < 90 \Leftrightarrow x < 45$

Logo, considerando a condição inicial, temos que a empresa A é mais vantajosa também para $30 < x < 45$ .

Como a solução é a união dos 2 intervalos, temos que a empresa A é mais vantajosa para $15 < x < 45$ .

c) Suponhamos que seja x o valor que será encomendado na empresa B, deste modo, temos que $(200 - x)$ será encomendado na empresa A. Entretanto, devemos dividir este problema em duas partes.

I) Se $x \leq 30$

$6 x + 4 \cdot (200 - x) + 30 = 850 \Leftrightarrow 6 x + 800 - 4 x + 30 = 850 \Leftrightarrow$

$2 x = 20 \Leftrightarrow x = 10$

Logo, serão encomendados 190 kg na empresa A e 10 kg na empresa B.

II) Se $x > 30$

$2 x + 120 + 4 \cdot (200 - x) + 30 = 850 \Leftrightarrow$

$- 2 x + 120 + 800 + 30 = 850 \Leftrightarrow 2 x = 100 \Leftrightarrow x = 50$

Logo, serão encomendados 150 kg na empresa A e 50 kg na empresa B.

Portanto, as duas possíbilidades são 190 kg em A e 10 kg em B ou 150 kg em A e 50 kg em B.