Questão 4 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Estudo Analítico da Circunferência Progressão Geométrica Área do Círculo Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Considere as circunferências $C, C_{1}, C_{2}, C_{3}, . . ., C_{n}, . . .$ e a reta $s$ satisfazendo as seguintes propriedades:

A circunferência $C_{1}$ tem centro $(0, 0)$ e raio $r = 4$ . Os centros das demais circunferências pertencem ao eixo $O x$ .
A circunferência $C_{2}$ é tangente a $C_{1}$ e a $C_{3}$ , a circunferência $C_{3}$ é tangente a $C_{2}$ e a $C_{4}$ , e assim por diante.
A reta $s$ é tangente a cada circunferência $C_{n}$ para $n ⩾ 1$ .
O segmento que liga o centro de $C_{1}$ ao ponto em que $s$ tangencia $C_{1}$ forma um ângulo de 60° com o eixo $O x$ .
A circunferência $C$ é tangente a $C_{1}$ no ponto $Q = (- 4, 0)$ e passa pelo ponto $P = (x_{0}, 0)$ .

Com base nessas informações,

a) determine o raio da circunferência $C$ .

b) dado $n ⩾ 1$ , determine a razão entre os raios das circunferências consecutivas $C_{n + 1}$ e $C_{n}$ .

c) determine a área da região sombreada na figura.

Resolução

Note que, pela descrição do enunciado, há inifinitas circunferências centradas no eixo $O x$ tangentes umas às outras em sequência. Assim, a cada nova circunferência, o ponto de tangência da reta $s$ com esta nova circunferência tende a convergir para o ponto $P$ .

a) Observe parte da ilustração indicada no enunciado.

Sendo $T$ o ponto de tangência de $s$ com a circunferência $C_{1}$ , podemos notar que o triângulo $P O T$ é retângulo em $T$ com ângulo agudo de 60° em $O$ .

Sendo $R$ o raio da circunferência $C$ , então como $O Q = 4$ , temos $O P = 2 R - 4$ . Assim, pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo, temos:

$\cos (60 °) = \frac{O T}{O P} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{4}{2 R - 4} \Leftrightarrow 2 R - 4 = 8 \Leftrightarrow R = 6$

b) Tomemos duas circunferências consecutivas quaisquer, $C_{n}$ e $C_{n + 1}$ , de raios $r_{n}$ e $r_{n + 1}$ , conforme a ilustração abaixo. Traçando retas paralelas à reta $\overset{\leftrightarrow}{O T}$ passando pelos centros das circunferências, bem como a reta $\overset{\leftrightarrow}{A E}$ paralela ao eixo $O x$ , onde $E$ é ponto de tangência da circunferência menor, temos:

Observe o triângulo $A F E$ , retângulo em $F$ , cujo cateto $\bar{A F}$ mede:

$A F = r_{n} - r_{n + 1}$

E cuja hipotenusa $\bar{A E}$ mede:

$A E = r_{n} + r_{n + 1}$

Pelas relações trigonométricas em $A F E$ , temos:

$\cos (60 º) = \frac{A F}{A E} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{r_{n} - r_{n + 1}}{r_{n} + r_{n + 1}} \Leftrightarrow r_{n} + r_{n + 1} = 2 r_{n} - 2 r_{n + 1} \Leftrightarrow$

$3 r_{n + 1} = r_{n} \Leftrightarrow \frac{r_{n + 1}}{r_{n}} = \frac{1}{3}$

c) Pelo item anterior, a razão entre o raio de duas circunferências consecutivas é igual a

$\frac{r_{n + 1}}{r_{n}} = \frac{1}{3}$ .

Deste modo, a razão entre as áreas de dois círculos consecutivos é igual a:

$\frac{r_{n + 1}}{r_{n}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = {(\frac{r_{n + 1}}{r_{n}})}^{2} = {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Seja $(A_{1}, A_{2}, A_{3}, . . ., A_{n}, . . .)$ a sequência formada pelas áreas dos círculos $(C_{1}, C_{2}, C_{3}, . . ., C_{n}, . . .)$ , então, podemos notar que esta sequência é uma progressão geométrica de razão igual a $\frac{1}{9}$ . Calculando a área $A_{1}$ do círculo determinado por $C_{1}$ , temos:

$A_{1} = π \cdot {(r_{1})}^{2} = π \cdot 4^{2} = 16 π$

Logo, o limite da soma dos infinitos termos dessa sequência é dado por:

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{A_{1}}{1 - q} = \frac{16 π}{1 - \frac{1}{9}} = 18 π$

Já a área do círculo determinado por $C$ é dada por:

$A_{C} = π \cdot R^{2} = π \cdot 6^{2} = 36 π$ .

Portanto, a área $A_{S}$ da região sombreada é dada por:

$A_{S} = A_{C} - \lim_{n \to \infty} S_{n} = 36 π - 18 π \Leftrightarrow A_{S} = 18 π$