Questão 5 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Equações e Inequações Tangente no Triângulo Retângulo

Segundo as normas da NBR 9077, uma escada deve ter todos os degraus com a mesma altura e a mesma largura. Além disso, indicando por $L$ a largura de um degrau e por $A$ a sua altura, ambas em centímetros, as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas:

$63 ⩽ 2 A + L ⩽ 64$

$16 ⩽ A ⩽ 18$

a) Se $A = 16$ , quais são os possíveis valores de $L$ ?

b) A altura do primeiro andar de um sobrado é 2,52 metros, medido de um pavimento ao outro. O arquiteto projetou a escada para ter o maior comprimento (soma das larguras dos degraus) possível, respeitando as normas citadas. Dessa forma, quantos degraus terá a escada e qual é a altura e largura de cada um?

c) Quais são o maior e o menor valor possível para a tangente do ângulo de inclinação de uma escada construída de acordo com essa norma?

Note e adote:

A figura é meramente ilustrativa e não representa a escada do enunciado

Resolução

a) Se $A = 16$ , temos pela primeira desigualdade:

$63 ⩽ 2 \cdot 16 + L ⩽ 64 \Leftrightarrow 31 ⩽ L ⩽ 32$

b) Sendo $n$ o número (inteiro) de degraus, o comprimento da escada é dado por $n \cdot L$ , enquanto sua altura, em centímetros, é dada por $n \cdot A = 252$ .

Multiplicando membro a membro a inequação $63 ⩽ 2 A + L ⩽ 64$ por $n$ , os sinais das inequações são mantidos, pois $n > 0$ :

$63 n ⩽ 2 A n + L n ⩽ 64 n \Leftrightarrow 63 n ⩽ 2 \cdot 252 + L n ⩽ 64 n \Leftrightarrow 63 n - 504 ⩽ L n ⩽ 64 n - 504$

Assim, o maior valor para o comprimento $n \cdot L$ é dado por $64 n - 504$ , e será atingido quando $n$ for máximo.

Da altura da escada, em centímetros, vem que:

$n \cdot A = 252 \Leftrightarrow A = \frac{252}{n}$

Pela segunda desigualdade, temos:

$16 ⩽ A ⩽ 18 \Leftrightarrow 16 ⩽ \frac{252}{n} ⩽ 18 \Leftrightarrow \frac{1}{18} ⩽ \frac{n}{252} ⩽ \frac{1}{16} \Leftrightarrow \frac{252}{18} ⩽ n ⩽ \frac{252}{16} \Leftrightarrow$

$14 ⩽ n ⩽ 15, 75$

O maior valor inteiro no intervalo acima é $n = 15$ . Assim, a escada terá 15 degraus.

Calculando a altura de cada degrau, temos:

$A = \frac{252}{n} \Leftrightarrow A = \frac{252}{15} \Leftrightarrow A = 16, 8 cm$

Utilizando a primeira inequação, temos:

$63 ⩽ 2 A + L ⩽ 64 \Leftrightarrow 63 ⩽ 2 \cdot 16, 8 + L ⩽ 64 \Leftrightarrow 29, 4 ⩽ L ⩽ 30, 4$

Como o arquiteto deseja a maior largura possível, então $L = 30, 4 cm$ .

c) Utilizando a visão lateral da escada, temos a seguinte situação

Assim, a máxima inclinação se dará quando a altura for máxima e a largura for mínima. E a mínima inclinação será quando a altura for mínima e a largura for máxima. Assim, temos:

Inclinação máxima: $A = 18$ .

Utilizando a primeira inequação para determinar $L$ , temos:

$63 ⩽ 2 \cdot 18 + L ⩽ 64 \Leftrightarrow 27 ⩽ L ⩽ 28$

Assim, a menor largura será $L = 27$ e a tangente do ângulo de inclinação será:

$tg (α) = \frac{A}{L} = \frac{18}{27} \Leftrightarrow tg (α) = \frac{2}{3}$

Inclinação mínima: $A = 16$

Utilizando a primeira inequação para determinar $L$ , temos:

$63 ⩽ 2 \cdot 16 + L ⩽ 64 \Leftrightarrow 31 ⩽ L ⩽ 32$

Assim, a maior largura será $L = 32$ e a tangente do ângulo de inclinação será:

$tg (α) = \frac{A}{L} = \frac{16}{32} \Leftrightarrow tg (α) = \frac{1}{2}$

Portanto, o maior valor da tangente da inclinação é $\frac{2}{3}$ e o menor valor é $\frac{1}{2}$ .