Questão 6 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Números Complexos

Um número complexo é da forma $z = x + y i$ , onde $x, y \in ℝ$ e $i^{2} = - 1$ .

a) Determine o valor de $b \in ℝ$ para que a parte real do número complexo $\frac{2 + b i}{1 + i}$ seja igual a zero.

b) Determine a solução da equação $|z| - z = 1 + 2 i$ .

c) Determine o valor de $a \in ℝ, a ≢ 0$ , para que a equação

$a z \bar{z} + (1 + i) z + \bar{(1 + i) z} + 1 = 0$

descreva uma circunferência no plano cartesiano.

Resolução

a) Multiplicando pelo conjugado do complexo $1 + i$ , temos:

$\frac{2 + b i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{2 - 2 i + b i - b i^{2}}{1^{2} - i^{2}}$

Sabendo que $i^{2} = - 1$ , então:

$\frac{2 - 2 i + b i - b \cdot (- 1)}{1^{2} - (- 1)} = \frac{2 + b}{2} + \frac{(b - 2) i}{2}$

Desse modo, como a parte real deve ser zero, concluímos que:

$\frac{2 + b}{2} = 0 \Rightarrow b = - 2$

b) Sabendo que $|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ e $|z| \in ℝ$ , temos:

$|z| - z = 1 + 2 i \Rightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} - x - y i = 1 + 2 i$

Igualando as partes reais e as imaginárias, segue:

$\{\begin{cases} \sqrt{x^{2} + y^{2}} - x = 1 \\ - y = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - 2 \\ \sqrt{x^{2} + {(- 2)}^{2}} = 1 + x \end{cases}$

Elevando ao quadrado a segunda equação, temos:

${(\sqrt{x^{2} + 4})}^{2} = {(1 + x)}^{2} \Rightarrow x^{2} + 4 = 1 + 2 x + x^{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Portanto, o conjunto solução é $V = {\frac{3}{2} - 2 i}$ .

c) Pelas propriedade dos números complexos:

(1) $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2} = x^{2} + y^{2}$ ,

(2) $z \cdot w = \bar{z} \cdot \bar{w}$

Segue:

$\begin{array}{rcl} a \cdot z z + (1 + i) z + (1 + i) z + 1 & = & 0 \Leftrightarrow \\ a \cdot (x^{2} + y^{2}) + (1 + i) \cdot (x + y i) + (1 - i) \cdot (x - y i) + 1 & = & 0 \Leftrightarrow \\ a \cdot (x^{2} + y^{2}) + x + y i + x i + y i^{2} + x - y i - x i + y i^{2} + 1 & = & 0 \Leftrightarrow \\ a x^{2} + a y^{2} + 2 x - 2 y + 1 & = & 0 \end{array}$

Como $a \neq 0$ , podemos reescrever a equação e completar os quadrados:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + y^{2} + \frac{2 x}{a} - \frac{2 y}{a} + \frac{1}{a} & = & 0 \Leftrightarrow \\ {(x + \frac{1}{a})}^{2} - \frac{1}{a^{2}} + {(y - \frac{1}{a})}^{2} - \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a} & = & 0 \Leftrightarrow \\ {(x + \frac{1}{a})}^{2} + {(y - \frac{1}{a})}^{2} & = & \frac{2 - a}{a^{2}} \end{array}$

Para que seja circunferência, devemos ter que a constante $\frac{2 - a}{a^{2}}$ , que representa o raio ao quadrado, deve ser positivo:

$\frac{2 - a}{a^{2}} > 0$

Sabendo que $a^{2} > 0$ para todo número real não nulo, então:

$2 - a > 0 \Rightarrow a < 2$

Logo, os valores de a são $a < 2 e a \neq 0$ .