Questão 2 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Espelhos esféricos

O telescópio espacial James Webb lançado em 2021 é, em muitos sentidos, um aprimoramento do antigo telescópico Hubble. Uma das diferenças mais notáveis está nas dimensões e nas propriedades ópticas dos espelhos principais destes dois telescópios. Por exemplo: enquanto o espelho principal do Hubble tem uma distância focal de aproximadamente 58 m, a distância focal do espelho principal do James Webb é de aproximadamente o dobro (131 metros). Tratando de maneira aproximada o funcionamento destes telescópios, consideraremos aqui a reflexão por somente um espelho esférico.

Suponha um sistema binário de estrelas separadas por uma distância 𝐻, e localizado a uma distância 𝐷 do espelho do telescópio que as observa, conforme mostra a figura. A distância entre o foco do espelho (ponto $F$ ) e o vértice do espelho (ponto $V$ ) é a chamada distância focal do espelho $(d_{f})$ .

a) Dois raios luminosos (“raio 1” e “ raio 2”) partindo da estrela A atingem o espelho. O “raio 1” é paralelo ao eixo do espelho, enquanto o “raio 2” passa pelo ponto $F$ . Na figura da folha de respostas, trace os raios refletidos pelo espelho.

b) Considere que o sistema está sendo observado pelo telescópio Hubble, para o qual $d_{f} = d$ . Calcule a razão $A = \frac{H_{I}}{H}$ onde $H_{I}$ é a distância entre as imagens das estrelas formadas pelo espelho. Essa razão é também chamada de “aumento” do espelho, embora esta razão possa ser menor do que 1. Expresse sua resposta em termos de 𝐷 e 𝑑.

c) Considere agora que o sistema esteja sendo observado pelo telescópio James Webb, para o qual $d_{f} = 2 d$ . Calcule a razão entre os aumentos dos dois espelhos. Expresse sua resposta em termos de 𝐷 e 𝑑.

Note e adote:

As estrelas podem ser consideradas fontes luminosas pontuais.

Para espelhos esféricos, o inverso da distância focal é igual à soma do inverso da distância do objeto com o inverso da distância em que a imagem se forma (todas em relação ao centro do espelho).

Resolução

a) Tratando-se de um espelho gaussiano, os raios que chegam paralelos ao eixo são refletidos para o foco, ao passo que os raios direcionados para o foco são refletidos de paralelamente ao eixo principal, conforme a figura abaixo.

Podemos afirmar que o espelho obedece as condições de Gauss com base no note e adote que descreve a equação de Gauss, válida apenas para espelhos gaussianos.

b) Sendo o aumento linear transversal do espelho esférico dado por

$A = \frac{H_{I}}{H} = \frac{f}{f - p}$ ,

temos

$\frac{H_{I}}{H} = \frac{d}{d - D}$ .

Como a imagem é invertida, o aumento será negativo, mas o enunciado define aumento como razão entre distâncias, obtendo um resultado positivo. Multiplicando por -1 a relação acima, obtemos:

$\frac{H_{I}}{H} = \frac{d}{D - d}$ .

RESOLUÇÃO ALTERNATIVA DO ITEM B.

Caso o candidato não se recordasse da relação do aumento linear utilizada acima, ainda seria possível resolver a questão por semelhança de triângulo, aproveitando a figura do campo de respostas. Veja a figura abaixo, adaptada para facilitar a visualização dos triângulos:

Os dois triângulos hachurados em azul são semelhantes, de forma que podemso escrever

$\frac{- H_{I}}{H} = \frac{f}{f - p}$

o sinal negativo foi utilizado devido ao fato de a imagem ser invertida em relação ao objeto e sendo H_I o tamanho da imagem (apenas o módulo). Com isso

$\frac{H_{I}}{H} = \frac{f}{p - f} \Rightarrow$

$\frac{H_{I}}{H} = \frac{d}{D - d}$ .

c) A razão pedida é dada por

$\frac{A_{W}}{A_{H}} = \frac{(\frac{f_{W}}{f_{W} - p})}{(\frac{f_{H}}{f_{H} - p})} \Rightarrow$

$\frac{A_{W}}{A_{H}} = \frac{(\frac{2 d}{2 d - D})}{(\frac{d}{d - D})} \Rightarrow$

$\frac{A_{W}}{A_{H}} = \frac{2 d}{2 d - D} \cdot \frac{d - D}{d} \Rightarrow$

$\frac{A_{W}}{A_{H}} = \frac{2 (d - D)}{2 d - D}$