Questão 3 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Teorema de Stevin Lei Geral dos Gases (Física)

Considere um mergulhador em um lago de águas calmas.

a) Esse mergulhador possui massa de 75 kg e volume corporal de 70 L. Para um mergulho, ele acopla a si um cilindro de ar de 15 kg e volume de 10 L. Estando completamente imersos na água (mergulhador e cilindro), o mergulhador para de nadar. Ele afundará ou subirá até a superfície? Justifique sua resposta.

b) Durante um mergulho, o mergulhador consulta seu manômetro de pulso e verifica que a pressão absoluta local é de 2,0 atm. A que profundidade o mergulhador está?

c) Finalmente, considere que o mergulhador está no fundo do lago, onde a temperatura da água é de 7 ℃ e a pressão é de 2,8 atm. Ele produz uma bolha de ar volume $V_{1}$ , que sobe em direção à superfície. Quando a bolha houver subido até a iminência de atingir a superfície, onde a temperatura da água é 27 ℃, seu volume será $V_{0}$ . Determine a razão $V_{0} / V_{1}$ .

Note e adote:

A densidade da água é de 1,0 kg/L. Adote como aceleração da gravidade o valor $10 \frac{m}{s^{2}}$ e como densidade da água o valor $1, 0 \times 10^{3} \frac{kg}{m^{3}}$ e utilize $1, 0 atm = 1, 0 \times 10^{5} Pa$ . Trate o ar na bolha como um gás ideal e suponha que não escape ar da bolha durante a subida.

Resolução

a) Para determinar se ele afundará ou subirá até a superfície, é necessário calcular a densidade do mergulhador junto com o cilindro de ar:

$d = \frac{m}{V} \Rightarrow d = \frac{m_{M} + m_{C}}{V_{M} + V_{C}} \Rightarrow d = \frac{75 + 15}{70 + 10} \Rightarrow d = \frac{90}{80} \Rightarrow d = 1, 125 kg / L \Rightarrow d > d_{á g u a}$

Como a densidade do mergulhador + cililndro é maior que a densidade da água, quando o mergulhador parar de nadar, ele afundará.

b) A pressão absoluta é a soma das pressões atmosférica e hidrostática.

$p = p_{a t m} + d \cdot g \cdot h \Rightarrow 2 \cdot 10^{5} = 1 \cdot 10^{5} + 10^{3} \cdot 10 \cdot h \Rightarrow 10^{4} \cdot h = 2 \cdot 10^{5} - 1 \cdot 10^{5} \Rightarrow h = \frac{1 \cdot 10^{5}}{10^{4}} \Rightarrow h = 10 m .$

c) Considerando o ar na bolha como um gás ideal e utilizando os dados do enunciado, temos:

$T_{1} = 7 º C = 280 K, p_{1} = 2, 8 atm, T_{0} = 27 º C = 300 K, p_{0} = 1, 0 atm .$

Utilizando a lei geral dos gases ideais:

$\frac{p_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{0} \cdot V_{0}}{T_{0}} \Rightarrow \frac{2, 8 \cdot V_{1}}{280} = \frac{1, 0 \cdot V_{0}}{300} \Rightarrow \frac{V_{0}}{V_{1}} = \frac{300 \cdot 2, 8}{280} \Rightarrow \frac{V_{0}}{V_{1}} = 3 .$