Questão 4 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

2ª Lei de Ohm Potência Elétrica Campo num Condutor Retilíneo Resistores em Paralelo

Um circuito é formado por dois resistores em paralelo imersos no vácuo, separados por uma distância 𝑑 ligados a uma bateria de força eletromotriz 𝑉. Cada resistor é formado por um fio muito longo, de mesmo comprimento e área de seção transversal, mas com resistividades elétricas $𝜌_{1}$ e $𝜌_{2}$ diferentes entre si, conforme ilustrado na figura.

a) Sendo $P_{1}$ e $P_{2}$ as potências dissipadas nos resistores 1 e 2, respectivamente, calcule a razão $P_{1} / P_{2}$ . Expresse sua resposta em termos de $𝜌_{1}$ e $𝜌_{2}$ .

b) Considerando que a corrente total no circuito seja 𝐼, obtenha, em função de 𝐼, $𝜌_{1}$ e $𝜌_{2}$ , o valor das correntes $I_{1}$ e $I_{2}$ que atravessam os resistores 1 e 2, respectivamente.

c) Obtenha a expressão para o módulo do campo magnético no ponto 𝐶, mostrado na figura, equidistante dos dois resistores, considerando $I_{1} = I_{2} / 4$ . Expresse sua resposta somente em termos de 𝑑, $µ_{0}$ (constante de permeabilidade magnética do vácuo) e da corrente total 𝐼.

Note e adote:

A resistência elétrica é diretamente proporcional ao comprimento, à resistividade e inversamente proporcional à área da seção transversal. O módulo do campo magnético produzido por um fio muito longo transportando uma corrente 𝐼 a uma distância 𝑟 é dado por $\frac{μ_{0} I}{2 πr}$ , onde $μ_{0}$ é a constante de permeabilidade do vácuo.

Resolução

a) A razão das potências é dada por

$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{(\frac{U^{2}}{R_{1}})}{(\frac{U^{2}}{R_{2}})}$ .

Como os resistores estão em paralelo entre si, então $U_{1} = U_{2}$ , portanto

$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{U^{2}}{R_{1}} \cdot \frac{R_{2}}{U^{2}} \Rightarrow$

$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$ .

Aplicando a segunda lei de Ohm para as resistências obtemos

$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{ρ_{2} \cdot L_{2} / A_{2}}{ρ_{1} \cdot L_{1} / A_{1}} \Rightarrow$

$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}}$ .

b) Como os resistores estão em paralelo, a d.d.p. em ambos são iguais e a corrente total do circuito é a soma das correntes que passam pelos resistores. Assim, obtemos o sistema a seguir:

$\{\begin{cases} U_{1} = U_{2} \\ I_{1} + I_{2} = I \end{cases} \Rightarrow$

$\{\begin{cases} R_{1} \cdot I_{1} = R_{2} \cdot I_{2} \\ I_{1} + I_{2} = I \end{cases} \Rightarrow$

$\{\begin{cases} I_{1} = \frac{R_{2}}{R_{1}} \cdot I_{2} \\ I_{1} + I_{2} = I \end{cases} \Rightarrow$

$\{\begin{cases} I_{1} = \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} \cdot I_{2} (eq. 1) \\ I_{1} + I_{2} = I (eq. 2) \end{cases}$

Substituindo (eq. 1) em (eq. 2) obtemos

$\frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} \cdot I_{2} + I_{2} = I \Rightarrow$

$ρ_{2} \cdot I_{2} + ρ_{1} \cdot I_{2} = ρ_{1} \cdot I \Rightarrow$

$I_{2} = \frac{ρ_{1} \cdot I}{ρ_{1} + ρ_{2}} .$

Substituindo o resultado de i2 em (eq. 1) obtemos

$I_{1} = \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} \cdot \frac{ρ_{1} \cdot I}{ρ_{1} + ρ_{2}} \Rightarrow$

$I_{1} = \frac{ρ_{2} \cdot I}{ρ_{1} + ρ_{2}}$ .

c) Dado que $I_{1} + I_{2} = I$ e $I_{1} = \frac{I_{2}}{4}$ , então

$\frac{I_{2}}{4} + I_{2} = I \Rightarrow$

$I_{2} = \frac{4 \cdot I}{5} .$

portanto

$I_{1} = \frac{I}{5} .$

A partir das correntes podemos calcular o campo magnético em função dos parâmetros pedidos. Pela regra da mão direita, o campo magnético gerado pelo fio 1 estará entrando perpendicularmente no plano da folha no ponto C e o campo magnético gerado pelo fio 2 estará saindo perpendicularmente do plano da folha neste mesmo ponto. Desta forma, o módulo do campo magnético no ponto C será dado por

$B_{C} = B_{2} - B_{1} \Rightarrow$

$B_{C} = \frac{μ_{0} \cdot I_{2}}{2 \cdot π \cdot \frac{d}{2}} - \frac{μ_{0} \cdot I_{1}}{2 \cdot π \cdot \frac{d}{2}} \Rightarrow$

$B_{C} = \frac{μ_{0} \cdot I_{2}}{π \cdot d} - \frac{μ_{0} \cdot I_{1}}{π \cdot d} \Rightarrow$

$B_{C} = \frac{μ_{0}}{π \cdot d} \cdot (I_{2} - I_{1}) \Rightarrow$

$B_{C} = \frac{μ_{0}}{π \cdot d} \cdot (\frac{4 I}{5} - \frac{I}{5}) \Rightarrow$

$B_{C} = \frac{3 \cdot μ_{0} \cdot I}{5 \cdot π \cdot d}$ .