Questão 5 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Efeito Doppler de onda sonora Equação fundamental da ondulatória

O efeito Doppler é caracterizado pela detecção de uma frequência diferente daquela emitida pela fonte, devido ao movimento relativo entre fonte e observador. Ele possui diversas aplicações, seja na medicina, astronomia ou ainda em sonares de velocidade, nos quais a velocidade de um objeto é medida comparando-se a frequência sonora emitida com aquela que é detectada. Considere um sonar de velocidade que envia ondas sonoras de 0,10 MHz em direção a um veículo que se aproxima com velocidade desconhecida.

a) Calcule o comprimento de onda emitido pelo sonar.

b) Suponha que exista um detector de ondas sonoras no carro. Calcule a frequência detectada por este detector considerando que o carro se aproxima do sonar com velocidade de 30 m/s.

c) Encontre a velocidade do veículo sabendo que o sonar detecta uma frequência de 0,15 MHz refletida de volta, do carro para o sonar.

Note e adote:

Considere a velocidade do som como 300 m/s.

No efeito Doppler, a frequência $f_{d}$ detectada pelo observador e a frequência $f_{e}$ emitida pela fonte se relacionam de acordo com a expressão: $\frac{f_{d}}{v_{s} \pm v_{d}} = \frac{f_{e}}{v_{s} \pm v_{e}}$ , onde $v_{s}$ é a velocidade do som, $v_{d}$ é a velocidade do observador e $v_{e}$ é a velocidade da fonte de emissão. Os sinais "+" e "−" são escolhidos de acordo com o movimento relativo entre fonte e observador

Resolução

a) A partir da equação fundamental da ondulatória, temos que $v = λ \cdot f$ , onde v é a velocidade da onda, $λ$ é o comprimento de onda e $f$ é a frequência da onda, a partir do enunciado, a frequência é 0,1 MHz e a velocidade da onda sonora é 300 m/s:

$300 = λ \cdot 0, 1 \cdot 10^{6} \Rightarrow λ = \frac{3 \cdot 10^{2}}{1 \cdot 10^{5}} \Rightarrow λ = 3 \cdot 10^{- 3} m . λ = 3 mm .$

b) Como o movimento relativo entre o carro (detector de ondas) e a fonte (que está em repouso) é de aproximação, a frequência detectada será maior que a frequência emitida, pela equação do efeito Doppler, tem-se:

$\frac{f_{d}}{v_{s} + v_{d}} = \frac{f_{e}}{v_{s}} \Rightarrow \frac{f_{d}}{300 + 30} = \frac{0, 1}{300} \Rightarrow f_{d} = \frac{0, 1 \cdot 330}{300} \Rightarrow f_{d} = 0, 11 MHz .$

c) O carro irá detectar uma frequência $f_{1}$ da onda emitida pelo sonar dado por:

$\frac{f_{1}}{v_{s} + v} = \frac{f_{e}}{v_{s}} \Rightarrow \frac{f_{1}}{300 + v} = \frac{0, 1}{300} \Rightarrow f_{1} = \frac{300 + v}{3000} (equação i)$

Onde $v$ é a velocidade do veículo.

A frequencia detectada pelo veículo será a mesma emitida por ele, que passa a ser a fonte emissora, e enviada de volta para o sonar, que passa a ser o detector, e que devido ao movimento relativo, irá detectar uma frequência de 0,15 MHz.

$\frac{f_{d}}{v_{s}} = \frac{f_{1}}{v_{s} - v} \Rightarrow \frac{0, 15}{300} = \frac{f_{1}}{300 - v} \Rightarrow f_{1} = \frac{300 - v}{2000} (equação ii)$

Igualando as equações i e ii, temos:

$\frac{300 + v}{3000} = \frac{300 - v}{2000} \Rightarrow (300 + v) \cdot 2 = (300 - v) \cdot 3 \Rightarrow 600 + 2 v = 900 - 3 v \Rightarrow 2 v + 3 v = 900 - 600 \Rightarrow 5 v = 300 \Rightarrow v = 60 m / s .$