Questão 6 Fuvest 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Velocidade Média Problemas em Física de Raciocínio Lógico

Em artigo publicado em 2022, uma física e um físico brasileiros propuseram uma interessante analogia entre congestionamentos de carros e a física de buracos negros (Luanna K. de Souza, George E. A. Matsas, “Black-hole analog in vehicular traffic”, American J. of Phys. 90, 692 (2022)).

Considere uma fila de 9 carros inicialmente em posições $x_{0}, x_{1}, x_{2}, . . ., x_{8}$ separados um do outro por uma distância D e se movendo com velocidade constante 𝑣 na direção negativa de um eixo x.

No instante inicial, o carro 0 freia, acionando sua luz de freio. Após um tempo de reação $T_{1}$ , o carro 1 freia, acionando agora a sua luz de freio. O carro 2, por sua vez, freia e aciona sua luz de freio um tempo $T_{2}$ após o carro 1 acionar a sua luz de freio e assim sucessivamente.

Para este problema, considere que no instante da primeira frenagem (instante inicial): (i) o carro 0 esteja localizado na origem $(x_{0} = 0)$ ; (ii) a distância entre os carros seja de 𝐷 = 20 m; e (iii) todos os carros tenham a mesma velocidade escalar $| 𝑣 ⃗ | = 𝑣_{i n i} .$

a) Dada a velocidade $𝑣_{i n i} = 72 km / h$ , calcule o tempo de reação máximo $𝑇_{m á x}$ para que não ocorram colisões entre quaisquer dois carros.

Texto para os itens (b) e (c):

Em geral, os tempos de reação dos motoristas não são iguais. Por exemplo, se os primeiros carros estiverem envoltos em neblina ou fumaça, os tempos de reação serão maiores para os primeiros carros da fila e menores para os últimos carros da fila. Considere a tabela a seguir, que mostra os tempos de reação $T_{1}, T_{2}, . . ., T_{8}$ (em segundos) retratando uma situação como essa.

Se o tempo de reação de um dado carro for maior que $𝑇_{m á x}$ , este carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente. Em uma analogia proposta pelos autores do artigo, este carro entra no “horizonte de eventos” de um “buraco negro veicular”.

b) Suponha agora uma outra velocidade $𝑣_{i n i}$ tal que $𝑇_{m á x} = 0, 89 s$ . Utilizando os dados da tabela, determine, em metros, a posição do “horizonte de eventos”, ou seja, a posição $x_{H}$ tal que todos os carros com posição inicial $x_{j} \leq x_{H}$ inevitavelmente colidirão com o carro da frente.

c) Calcule o intervalo de velocidades 𝑣ini compatível com $x_{H} = 60 m$ .

Note e adote:

Assuma que a distância entre os carros D seja muito maior que o comprimento dos carros. Considere que, dada a velocidade 𝑣ini, após o acionamento dos freios, todos os carros que não colidem percorrem uma mesma distância até atingirem o repouso. Tempo de reação: O intervalo de tempo que o motorista demora para acionar o freio após ver o sinal emitido pelo carro da frente. Horizonte de eventos de um buraco negro: Superfície teórica em torno de seu centro a partir da qual nenhum outro evento pode fazer com que um objeto ou radiação escape de, eventualmente, ser sugado em direção ao centro do buraco negro. No caso do “buraco negro veicular” é o ponto a partir do qual um carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente e não pode escapar de uma colisão em seu futuro do mesmo modo que nada (nem a luz) escapa de um buraco negro real.

Resolução

a) Segundo o note e adote, todos os carros que param sem colidir deslocam-se a mesma distância. Além disso, todos têm a mesma velocidade inicial e, portanto, a mesma aceleração durante a frenagem. Desta forma, podemos dizer que um carro qualquer deve percorrer, em velocidade constante, uma distância máxima de 20 m, que a distância de separação entre ele e o carro da frente. Esta lógica é válida para todos os carros exceto o carro 0. Esta condição implica que o carro terminaria de frear logo que encontrasse o carro imediatamente a sua frente, condição limite para evitar a colisão.

A partir disso, podemos dizer que o tempo de reação de qualquer carro corresponde ao tempo que ele demora para percorrer uma distância de 20 m com velocidade constante. No caso deste item, a velocidade inicial dos carros é de 20 m/s (72 km/h), portanto o tempo Tmáx de reação será dado por

$v = \frac{D}{T_{m a x}}$

$20 = \frac{20}{T_{m a x}}$

$T_{\max} = 1 s$

b) Sendo o tempo máximo de reação nesta nova situação de 0,89 s para que não haja colisão, então podemos dizer que os carros 1, 2, 3, 4 e 5 colidirão com o da frente. Veja os elementos grifados na tabela abaixo.

ìndice j	1	2	3	4	5	7	8	9
Tj (s)	4,5	2,3	1,6	1,0	0,90	0,75	0,64	0,56

Desta forma,

$x_{H} = x_{5} = 100 m$

c) Sendo X_H correspondente à coordenada do horizonte de eventos, então todos os carros tais que $x_{j} \leq 60 m$ colidirão com o da frente.

Agora, note que o terceiro carro está tem coordenada inicial de 60 m. Desta forma o tempo máximo de reação deve ser tal que $1, 6 s \leq T_{m á x} < 1 s$ , portanto, a velocidade v_ini inicial dos carros deve ser tal que $v_{3} \leq v_{i n i} < v_{4}$ , sendo

$v_{3} = \frac{D}{T_{3}} \Rightarrow v_{3} = \frac{20}{1, 6} \Rightarrow v_{3} = 12, 5 m / s$

$v_{4} = \frac{D}{T_{4}} \Rightarrow v_{4} = \frac{20}{1, 0} \Rightarrow v_{4} = 20 m / s$

Portanto

$12, 5 m / s \leq v_{ini} < 20 m / s$ .