Questão 13 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 13

Gases (Química)

Diversos processos na indústria de óleo e gás podem envolver misturas de gases a diferentes temperaturas. Um sistema isolado é composto por dois compartimentos de mesmo volume: o primeiro é ocupado por $n_{1} = 1$ mol e o segundo é ocupado por $n_{2} = 2$ mols de um gás ideal monoatômico. Inicialmente cada compartimento encontra-se em equilíbrio térmico, com temperatura $T_{1} = 4 T$ e $T_{2} = T$ , respectivamente, conforme mostra a figura

A partir de certo instante, a parede que separa os compartimentos é removida e, após algum tempo, o sistema atinge uma nova temperatura de equilíbrio $T_{m}$ . Supondo que não há trabalho realizado após a remoção da parede, nem troca de calor entre o sistema e o ambiente externo, a temperatura de equilíbrio $T_{m}$ é dada por:

Note e adote:
A energia interna de um gás ideal monoatômico é dada por $U = \frac{3 n R T}{2}$ , sendo 𝑛 o número de mols, 𝑅 a constante universal dos gases ideais e 𝑇 a temperatura absoluta.

a)	𝑇
b)	3𝑇/2
c)	2𝑇
d)	5𝑇/2
e)	4𝑇

Resolução

A variação da energia interna de um sistema ( $∆ U$ ) em uma transformação gasosa é dada por

$∆ U = q + w$

em que $q$ é o calor trocado e $w$ é o trabalho realizado pelo gás na transformação. Conforme descrito no enunciado, após a remoção da parede, não ocorreu troca de calor $(q = 0)$ nem realização de trabalho $(w = 0)$ , assim

$∆ U = 0 \Leftrightarrow U_{i n i c i a l} = U_{f i n a l}$

Conforme descrito na seção "Note e adote", sendo a energia interna dada por

$U = \frac{3}{2} n R T$

em que, $n$ é o número de mols de gás, $R$ é a constante do gás ideal e $T$ é a temperatura, tem-se:

$U_{i n i c i a l} = U_{1} + U_{2} U_{i n i c i a l} = \frac{3}{2} n_{1} R T_{1} + \frac{3}{2} n_{2} R T_{2} U_{i n i c i a l} = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot R \cdot 4 \cdot T + \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot R \cdot T U_{i n i c i a l} = \frac{3}{2} \cdot R \cdot T \cdot (4 + 2) \Rightarrow U_{i n i c i a l} = 9 R T$

A energia interna final ( $U_{f i n a l}$ ) é dada por:

$U_{f i n a l} = \frac{3}{2} (n_{1} + n_{2}) R T_{f i n a l}$

portanto, como a energia interna se conserva na transformação:

$U_{i n i c i a l} = U_{f i n a l} 9 R T = \frac{3}{2} (2 + 1) R T_{f i n a l} 9 R T = \frac{9}{2} R T_{f i n a l} \Rightarrow T_{f i n a l} = 2 T$