Questão 22 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 22

Progressão Aritmética

Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais que formam uma progressão aritmética crescente. As três primeiras parcelas foram de R$ 120,00, R$ 126,00 e R$ 132,00. Sabendo que, ao final, constatou-se que Joana não pagou a 19ª parcela, o valor pago por ela foi:

a)	R$ 3.954,00
b)	R$ 4.026,00
c)	R$ 4.200,00
d)	R$ 4.308,00
e)	R$ 4.382,00

Resolução

Como as parcelas formam uma progressão aritmética, então para encontrarmos a razão desta sequência devemos subtrair dois termos consecutivos. Sendo $(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{24})$ as parcelas e r a razão da progressão, temos:

$r = a_{2} - a_{1} \Leftrightarrow r = 126 - 120 \Leftrightarrow r = 6$

Deste modo, faremos o cálculo do total pago por Joana subtraindo da soma das 24 parcelas a 19ª parcela que não foi paga por ela. Lembrando que a soma de n termos de uma P.A. é expresso por:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$

Então, para o nosso cálculo será necessário que saibamos os valores da primeira parcela, da última parcela e, por fim, da décima nona parcela. Logo, temos:

$a_{24} = a_{1} + (24 - 1) \cdot r \Leftrightarrow a_{24} = 120 + 6 \cdot 23 \Leftrightarrow a_{24} = 258$

E a soma de todas as parcela é igual a:

$S_{24} = \frac{(a_{1} + a_{24}) \cdot 24}{2} \Leftrightarrow S_{24} = \frac{(120 + 258) \cdot 24}{2} \Leftrightarrow S_{24} = 4536$

A parcela esquecida por Joana tem valor igual a:

$a_{19} = 120 + (19 - 1) \cdot 6 \Leftrightarrow a_{19} = 228$

Portanto, o total pago por ela foi:

$S_{24} - a_{19} = 4536 - 228 = 4308 reais$