Questão 36 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 36

Equações e inequações exponenciais Sistemas Lineares

Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões $\frac{9}{8}$ e $\frac{256}{243}$ . A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de $\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}$

Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220 Hz e outra de 990 Hz é composto por 𝑛 tons e 𝑚 semitons, a soma 𝑚 + 𝑛 é igual a:

a)	13
b)	14
c)	15
d)	16
e)	17

Resolução

Tem-se que o intervalo de cada tom é dado pela razão $\frac{9}{8} = \frac{3^{2}}{2^{3}}$ e o intervalo entre cada semitom é $\frac{256}{243} = \frac{2^{8}}{3^{5}}$ .

Como a soma dos intervalos corresponde ao produto entre essas razões, e o intervalo entre as notas de $990 Hz$ e $220 Hz$ é composta por $n$ tons e $m$ semitons, e o intervalo é a razão entre as frequências, logo, pode-se determinar a seguinte equação:

$\frac{990}{220} = {(\frac{3^{2}}{2^{3}})}^{n} \cdot {(\frac{2^{8}}{3^{5}})}^{m} \Leftrightarrow$

$\frac{9}{2} = \frac{3^{2 n}}{2^{3 n}} \cdot \frac{2^{8 m}}{3^{5 m}} \Leftrightarrow$

$\frac{3^{2}}{2^{1}} = \frac{3^{2 n - 5 m}}{2^{3 n - 8 m}}$

Pela igualdade, tem-se o seguinte sistema:

$\{\begin{cases} 2 n - 5 m = 2 \\ 3 n - 8 m = 1 \end{cases} \Rightarrow$

$\{\begin{cases} 6 n - 15 m = 6 \\ 6 n - 16 m = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow m = 4 \Rightarrow n = 11$

Portanto, $m + n = 15$ .