Questão 77 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 77

Choque Perfeitamente Inelástico Sistemas Conservativos na Dinâmica

Um tradicional brinquedo infantil, conhecido como bate-bate, é composto por duas esferas (bolinhas) de massas iguais conectadas cada qual por uma corda e amarradas num ponto comum. Desloca-se a bolinha 1 de uma altura ℎ, conforme ilustrado no arranjo:

Ao soltar a esfera 1, ela colidirá com a bolinha 2, inicialmente em repouso. Supondo que a colisão seja perfeitamente elástica, verifica-se que, após a colisão, a esfera 2 subirá para a mesma altura ℎ. Imagine agora que uma pequena goma colante seja colocada numa das esferas de modo que, após a colisão, ambas permaneçam unidas. Neste caso, após a colisão, a altura alcançada pelo sistema formado pelas duas bolinhas unidas será:

a)	ℎ/8
b)	ℎ/4
c)	ℎ/3
d)	ℎ/2
e)	ℎ

Resolução

A figura abaixo ilustra a situação descrita no enunciado.

Legenda:

A: ponto de partida da bola 1, a uma altura $h$ em relação a B e C;

B: ponto mais baixo da trajetória da bola 1 imediatamente antes da colisão com a bola 2;

C: ponto onde as bolas 1 e 2 estão grudadas imediatamente após a colisão, formando o conjunto 1-2;

D: ponto mais alto da trajetória do conjunto 1-2 após a colisão, a uma altura $h'$ em relação a B e C.

O enunciado descreve a situação em que 1 e 2 colidem elasticamente, fazendo com que 2 atinja a mesma altura inicial de 1. Tal afirmação permite considerar o movimento de subida e descida conservativo, valendo a conservação da energia mecânica no trajeto de A para B da bola 1 e no trajeto de C para D do conjunto 1-2. Sejam $m$ as massas das bolas.

No ponto A, a bola 1 possui energia cinética nula e energia potencial gravitacional $E_{p o t, A} = m \cdot g \cdot h$ em relação ao ponto B. A partir disso, aplicando a conservação de energia mecânica, podemos obter uma expressão para a velocidade de 1 em B:

$E_{m e c, A} = E_{m e c, B} \Rightarrow$

$E_{p o t, A} + E_{c i n, A} = E_{p o t, B} + E_{c i n, B} \Rightarrow$

$m \cdot g \cdot h + 0 = 0 + \frac{m \cdot {v_{B}}^{2}}{2} \Rightarrow$

$v_{B} = \sqrt{2 g \cdot h} . (i)$

Além disso, a subida do conjunto 1-2 (de massa $2 m$ ) de C para D também conserva a energia mecânica após a colisão. Como D é o ponto de altura máxima, ali a energia cinética será nula, e podemos obter uma expressão para a velocidade do conjunto após a colisão em C:

$E_{m e c, C} = E_{m e c, D} \Rightarrow$

$E_{p o t, C} + E_{c i n, C} = E_{p o t, D} + E_{c i n, D} \Rightarrow$

$0 + \frac{2 m \cdot {v_{C}}^{2}}{2} = 2 m \cdot g \cdot h' + 0 \Rightarrow$

$v_{C} = \sqrt{2 g \cdot h'} . (i i)$

No entanto, devemos notar que durante a colisão (de B para C) não há conservação de energia, porém há conservação da quantidade de movimento, de forma que, para a componente horizontal,

$Q_{B} = Q_{C} \Rightarrow$

$m \cdot v_{B} = 2 m \cdot v_{C} \Rightarrow$

$v_{B} = 2 \cdot v_{C} . (i i i)$

Substituindo (i) e (ii) em (iii), obtemos

$\sqrt{2 g \cdot h} = 2 \cdot \sqrt{2 g \cdot h'} .$

Elevando ambos os lados da igualdade acima ao quadrado,

$2 \cdot g \cdot h = 4 \cdot 2 \cdot g \cdot h'$

$h' = \frac{h}{4} .$

A alternativa correta é a b.