Questão 78 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 78

Resultante Centrípeta

O telescópio espacial James Webb, lançado em dezembro de 2021, move-se nas proximidades de um ponto especial chamado ponto de Lagrange, sobre o qual um objeto orbita o Sol com o mesmo período de translação que a Terra. O esquema a seguir, fora de escala, representa o Sol, a Terra e o telescópio Webb, com as respectivas massas e distâncias indicadas.

A força resultante necessária para manter um objeto de massa 𝑚 em uma órbita circular de raio 𝑅 com velocidade angular 𝜔 é $F = m \cdot 𝜔^{2} \cdot R$ . Sendo $F_{T}$ e $F_{W}$ as intensidades das forças gravitacionais resultantes sobre a Terra e sobre o telescópio, respectivamente, assinale a alternativa que descreve a razão $\frac{F_{w}}{F_{T}}$ entre essas forças.

a)	$\frac{F_{w}}{F_{T}} = \frac{m_{w} \cdot R_{T}}{m_{T} \cdot R_{w}}$
b)	$\frac{F_{w}}{F_{T}} = \frac{(m_{T} + m_{s}) \cdot R_{w}}{m_{T} \cdot R_{T}}$
c)	$\frac{F_{w}}{F_{T}} = \frac{m_{w} \cdot R_{w}}{m_{T} \cdot R_{T}}$
d)	$\frac{F_{w}}{F_{T}} = \frac{m_{w} \cdot (R_{w} - R_{T})}{m_{T} \cdot R_{T}}$
e)	$\frac{F_{w}}{F_{T}} = \frac{m_{T} \cdot (R_{W} - R_{T})}{m_{w} \cdot R_{T}}$

Resolução

Órbitas circulares em torno de um corpo central são realizadas com velocidades escalar e angular constantes, de modo que para a velocidade angular, considerando uma volta do movimento,

$ω = \frac{Δ φ}{Δ t} = \frac{2 \cdot π}{T},$

em que $Δ φ = 2 π r a d$ é o deslocamento angular de uma volta completa. A Terra e o telescópio Webb estão em órbitas circulares com o mesmo valor de período de translação, $T_{W} = T_{T}$ , portanto as velocidades angulares da Terra e do telescópio Webb são iguais: $ω_{W} = ω_{T}$ . Segundo o enunciado, a força resultante centrípeta é dada por $F = m \cdot ω^{2} \cdot R$ , então, a razão entre as forças resultantes centrípetas será:

$\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W} \cdot {ω_{W}}^{2} \cdot R_{W}}{m_{T} \cdot {ω_{T}}^{2} \cdot R_{T}} \Rightarrow$

$\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W} \cdot R_{W}}{m_{T} \cdot R_{T}} .$

A alternativa correta é a c.