Questão 84 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 84

Combinação simples

Um professor precisa elaborar uma prova multidisciplinar que consta de duas questões de Matemática e seis de Física. Ele deve escolher questões de um banco de dados que contém três questões de Matemática e oito de Física. O número de provas distintas possíveis, sem levar em conta a ordem em que as questões aparecem, é:

a)	42
b)	54
c)	62
d)	72
e)	84

Resolução

O professor dispõe de 3 questões de matemática e deve escolher 2 delas e dispões de 8 questões de física e deve escolher 6 delas. Como a ordem das questões não é levada em conta neste problema, então temos uma questão de combinação simples. Deste modo, o total de maneira que este professor pode montar a prova é dado por:

$C_{3, 2} \cdot C_{8, 6} = \frac{3!}{(3 - 2)! \cdot 2!} \cdot \frac{8!}{(8 - 6)! \cdot 6!} = \frac{3 \cdot 2!}{1! \cdot 2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2! \cdot 6!} = 3 \cdot 28 = 84$

O candidato também poderia pensar através do princípio fundamental da contagem da seguinte maneira:

$M_{1} \cdot M_{2} \cdot F_{1} \cdot F_{2} \cdot F_{3} \cdot F_{4} \cdot F_{5} \cdot F_{6}$

Onde M representa uma questão de matemática e F representa uma questão de física. Assim, para a primeira questão de matemática o professor tem 3 possibilidades de escolha. Feita a primeira escolha, lhe restam 2 possibilidades para a segunda questão de matemática. Como a ordem não importa, devemos dividir pela permutação destas questões. O mesmo raciocínio se aplica às questões de física. Assim, o total de maneiras pode ser calculado por:

$\underset{Escolha de Mat.}{\underset{⏟}{\frac{3 \cdot 2}{2!}}} \cdot \underset{Escolha de Fís.}{\underset{⏟}{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6!}}} = 3 \cdot 28 = 84$