Questão 85 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 85

Definição do logaritmo

A FIFA (Federação Internacional de Futebol) implementou, em 2018, a versão mais recente do ranking das seleções. Suponha que as seleções A e B, com pontuações $P_{A}$ e $P_{B}$ , respectivamente, disputarão uma final de Copa do Mundo. A pontuação atualizada da seleção A após a partida será dada por

$P_{A}^{'} = P_{A} + 60 \cdot (V_{A} - E_{A})$

onde

$E_{A} = \frac{10^{\frac{P_{A} - P_{B}}{600}}}{1 + 10^{\frac{P_{A} - P_{B}}{600}}}$

e o valor de $V_{A}$ depende do resultado da partida de acordo com a tabela:

Resultado da partida	Valor de $V_{A}$
Vitória de A	1
Empate	0,5
Derrota de A	0

Sabendo que $P_{A} - P_{B} = 360$ , se a seleção A vencer a partida, sua pontuação aumentará em

Note e adote: $\log_{10} 2 = 0, 3$

a)	6 pontos.
b)	10 pontos.
c)	12 pontos.
d)	15 pontos.
e)	20 pontos.

Resolução

Determinar o aumento da pontuação da seleção A significa calcular a diferença entre a nova pontuação e a pontuação anterior, ou seja, $P'_{A} - P_{A}$ .

Na hipótese da seleção A vencer a partida, substituímos $V_{A} = 1$ , segundo a tabela.

Assim, temos que:

$P'_{A} = P_{A} + 60 \cdot (1 - E_{A}) \Leftrightarrow P'_{A} - P_{A} = 60 \cdot (1 - E_{A})$

Para determinar $E_{A}$ , admitimos $P_{A} - P_{B} = 360$ , conforme enunciado. Então:

$E_{A} = \frac{10^{\frac{360}{600}}}{1 + 10^{\frac{360}{600}}} \Leftrightarrow E_{A} = \frac{10^{0, 6}}{1 + 10^{0, 6}}$

Usando a informação $\log_{10} 2 = 0, 3$ , deduzimos que:

$10^{0, 3} = 2 \Rightarrow {(10^{0, 3})}^{2} = {(2)}^{2} \Leftrightarrow 10^{0, 6} = 4$ .

Substituímos na expressão que determina $E_{A}$ :

$E_{A} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}$ .

Deste resultado, temos:

$P'_{A} - P_{A} = 60 \cdot (1 - \frac{4}{5}) \Leftrightarrow$

$P'_{A} - P_{A} = 60 \cdot \frac{1}{5} \Leftrightarrow$

$P'_{A} - P_{A} = 12$

Portanto se a seleção A vencer a partida, sua pontuação aumentará em 12 pontos.