Questão 89 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 89

Circunferência G.A. Área do Círculo Áreas de quadriláteros

Considere a região do plano cartesiano

$A = \{(x, y) \in ℝ^{2} : |x| + |y| \leq 1\}$

esboçada na figura

Dado $B = \{(x, y) \in ℝ^{2} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} \geq 1\}$ , a área da região $A \cap B$ é:

a)	$2 - \frac{π}{4}$
b)	$2 - \frac{π}{2}$
c)	$4 + \frac{π}{2}$
d)	$4 - \frac{π}{4}$
e)	$2 + \frac{π}{2}$

Resolução

O enunciado nos forneceu o esboço da região A, que é um quadrado de diagonal 2:

Logo, sendo $a$ a medida do lado do quadrado:

$a^{2} + a^{2} = 2^{2} \Rightarrow a = \sqrt{2}$

Podemos obter o esboço da região B, através da inequação:

${(x + 1)}^{2} + y^{2} \geq 1$ , que representa uma circunferência de raio 1 e centro $(- 1, 0)$ e a região externa a ela, isto é:

A região que representa a intersecção entre as regiões A e B, é parte interna do quadrado de A com a parte externa da circunferência da região B, esboçada abaixo:

Logo, podemos notar que a intersecção entre as duas regiões será dada pelo do quadrado subtraindo um quarto da circunferência, como mostra a figura abaixo:

Calculando a área pedida, temos:

$A_{A \cap B} = {(\sqrt{2})}^{2} - \frac{1}{4} π \cdot 1^{2} = 2 - \frac{π}{4} u . a .$