Questão 90 Fuvest 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 90

Função Logarítmica

No plano cartesiano, os pontos $(3, 2)$ e $(5, 4)$ pertencem ao gráfico da função dada por

$y = \log_{2} (a x + b) .$

O valor de $a + b$ é:

a)	-8
b)	-6
c)	0
d)	4
e)	8

Resolução

Substituindo os pontos dados no enunciado na função, temos:

$\{\begin{cases} 2 = \log_{2} (3 a + b) \\ 4 = \log_{2} (5 a + b) \end{cases}$

Pela definição de logaritmos, segue que:

$\{\begin{cases} 2 = \log_{2} (3 a + b) \\ 4 = \log_{2} (5 a + b) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2^{2} = (3 a + b) \\ 2^{4} = (5 a + b) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + b = 4 \\ 5 a + b = 16 \end{cases}$

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

$5 a + b - (3 a + b) = 16 - 4 \Leftrightarrow 2 a = 12 \Leftrightarrow a = 6$

Substituindo o valor encontrado de $a$ na primeira equação, segue que:

$3 \cdot 6 + b = 4 \Leftrightarrow b = - 14$

Deste modo,

$a + b = 6 + (- 14) \Leftrightarrow a + b = - 8$