Questão 1 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Órbitas Circulares (Satélites) Velocidade Média Impulso e Quantidade de Movimento

Em meados de 2022 o Telescópio Espacial James Webb entrou em operação. Ele foi chamado inicialmente de Telescópio Espacial de Nova Geração por ser desenvolvido com novas tecnologias e ter o objetivo de substituir parcialmente as funções do Telescópio Espacial Hubble, lançado em 1990. O telescópio Hubble possui uma massa m_H $≃$ 11000 kg e se move numa órbita circular em torno da Terra, a uma altura aproximada h $≃$ 600 km da superfície terrestre. Já o Webb não orbita em torno da Terra, e sim em torno de um ponto mais distante do que a Lua; sua massa é pouco mais da metade da massa do Hubble, e pode ser aproximada por m_W $≃$ 6000 kg.

a) O período orbital do Hubble em torno da Terra pode ser aproximado por $T_{H}$ $≃$ 100 min, e o raio da Terra por $R_{T}$ $≃$ 6400 km. Qual o módulo da força centrípeta que atua no telescópio Hubble?

b) A figura no espaço de respostas mostra a distância percorrida pelo Webb durante as duas primeiras semanas após o lançamento. Assuma que o módulo da velocidade do Webb é aproximadamente constante no período que vai do início do 9º ao início do 19º dia de viagem (10 dias completos). Calcule, em unidades do SI, o módulo da quantidade de movimento do telescópio ao longo desse período. Aproxime $1 d i a ≃ 8 \times 10^{4} s$

Resolução

a) Podemos escrever o módulo da força resultante centrípeta agindo no telescópio Hubble como

$F_{c e n t} = m_{H} \cdot ω^{2} \cdot R,$

onde $m_{H} = 11 \cdot 10^{3} k g$ é sua massa, $ω$ é a velocidade angular de sua órbita (que por ser circular é um valor constante) e $R$ é o raio dessa órbita a partir do centro do planeta Terra. Assim, o raio é a soma da altitude do telescópio em relação à superfície (600 km) com o raio do planeta Terra (6400 km), conforme imagem abaixo ilustra.

Assim,

$R = R_{T} + h = 6400 + 600 = 7000 k m \Rightarrow$

$R = 7 \cdot 10^{6} m .$

A velocidade angular $ω$ pode ser obtida a partir de sua relação com o período $T$ . Como neste caso

$T = 100 m i n = 6 \cdot 10^{3} s,$

temos, em unidades do SI,

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 \cdot 3}{6 \cdot 10^{3}} = 10^{- 3} r a d / s .$

Assim, substituindo todas as informações acima na expressão para a força resultante centrípeta, obtemos, novamente em unidades do SI,

$F_{c e n t} = m_{H} \cdot ω^{2} \cdot R \Rightarrow$

$F_{c e n t} = 11 \cdot 10^{3} \cdot {(10^{- 3})}^{2} \cdot 7 \cdot 10^{6} \Rightarrow$

$F_{c e n t} = 7, 7 \cdot 10^{4} N .$

Observação. O módulo da força resultante centrípeta também pode ser calculada utilizando-se

$F_{c e n t} = \frac{m \cdot v^{2}}{R},$

bastando para isso calcular a velocidade da órbita circular com

$v = \frac{2 π R}{T} .$

b) Para determinar o módulo da quantidade de movimento do telescópio Webb é necessário obter o módulo da velocidade, assumida constante. O intervalo de tempo da viagem é de 10 dias, do 9º ao 19º, o que corresponde a

$Δ t = 10 d i a s = 10 \cdot 8 \cdot 10^{4} s = 8 \cdot 10^{5} s .$

Do gráfico é possível determinar a distância distância percorrida nestes 10 dias:

$Δ s = 12 \cdot 10^{8} - 8 \cdot 10^{8} = 4 \cdot 10^{8} m .$

Assim, o módulo da velocidade será dado, em unidades do SI, por

$v = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{4 \cdot 10^{8}}{8 \cdot 10^{5}} = 5 \cdot 10^{2} m / s .$

Com a velocidade e a massa $m_{W} = 6 \cdot 10^{3} k g$ , determinamos o módulo da quantidade de movimento do telescópio Webb:

$Q = m_{W} \cdot v \Rightarrow$

$Q = 6 \cdot 10^{3} \cdot 5 \cdot 10^{2} \Rightarrow$

$Q = 3 \cdot 10^{6} k g \cdot m / s .$