Questão 2 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2

a) Segundo a escala apresentada na figura, podemos identificar o centro de curvatura do espelho (C), distante $R_C=10 m$ de seu vértice, e o ponto focal (F), à meia distância entre o vértice e o centro de curvatura, portanto a $\left|f\right|=R_C/2=5 m$ de seu vértice. Como o espelho é côncavo, sua coordenada focal é positiva: $f=+5 m$.

A determinação da distância $p\text{'}$ entre a imagem e o espelho e a caracterização dessa imagem podem ser feitas de duas formas: i) graficamente e ii) analiticamente.

i) Resolução gráfica

Conhecendo-se a posição do ponto focal (F) e do centro de curvatura (C), é possível traçar o caminho dos raios de luz indicados na figura após serem refletidos pelo espelho. Na figura abaixo, o raio (1) incide paralelamente ao eixo óptico, portanto após a reflexão ele passa pelo ponto focal (raio laranja); já o raio (2) incide passando por C, logo após a reflexão ele volta pelo mesmo caminho (raio azul).

Da construção geométrica, vemos que a imagem é real (pois os raios de luz , e não seus prolongamentos, se cruzam no ponto extremo da imagem), invertida (pois sua extremidade se encontra do lado oposto do eixo óptico em relação ao objeto) e reduzida (pois é menor do que o objeto). Como a imagem é real, $p\text{'}>0$.

A determinação da distância entre a imagem e o espelho pode ser feita utilizando-se o triângulo isósceles $POQ$ destacado abaixo. Nele, temos $\alpha =\beta$.

Com $M$ sendo o ponto médio do lado $PO$, temos que $MQ$ é mediatriz, portanto

$p\text{'}=\frac{p}{2}=\frac{15}{2}\Rightarrow \boxed{p\text{'}=7,5 m}.$

ii) Resolução analítica

Como $p=15 m$ e $f=5 m$, podemos aplicar a equação dos pontos conjugados (ou equação de Gauss):

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p\text{'}}\Rightarrow$

$\frac{1}{5}=\frac{1}{15}+\frac{1}{p\text{'}}\Rightarrow$

$\frac{1}{p\text{'}}=\frac{2}{15}\Rightarrow \boxed{p\text{'}=7,5 m}.$

Como $p\text{'}>0$, a imagem é real. Agora, pelo aumento linear transversal:

$A=-\frac{p\text{'}}{p}=-\frac{7,5}{15}=-\frac{1}{2}.$

Já que $A<0$, a imagem é invertida; além disso, como $\left|A\right|=\frac{1}{2}<1$, a imagem é reduzida.

b) Da relação fundamental da ondulatória, $c=\lambda ·f$, em que $c=3·{10}^8 m/s$ é a velocidade das ondas eletromagnéticas. Essa relação pode ser reescrita como $f=c/\lambda$. Aplicando ela à razão das frequências apresentada no enunciado e usando o valor dado para a razão dos comprimentos de onda, encontramos

$\frac{f_{obser}}{f_{emit}}=\frac{c/{\lambda }_{obser}}{c/{\lambda }_{emit}}=\frac{{\lambda }_{emit}}{{\lambda }_{obser}}={\left(\frac{{\lambda }_{obser}}{{\lambda }_{emit}}\right)}^{-1}\Rightarrow$

$\frac{f_{obser}}{f_{emit}}={\left(\frac{{\lambda }_{obser}}{{\lambda }_{emit}}\right)}^{-1}=1,{25}^{-1}=\frac{1}{1,25}=\frac{4}{5}.$

Usando essa razão entre as frequências, é possível usar a relação dada no enunciado para o efeito Doppler, e com isso obter a velocidade de recessão da galáxia. Temos

$\frac{f_{obser}}{f_{emit}}=1-\frac{v}{c}\Rightarrow$

$\frac{4}{5}=1-\frac{v}{c}\Rightarrow$

$v=\frac{c}{5}=\frac{3·{10}^8}{5}=6·{10}^7 m/s.$

Por fim, determinamos a distância à galáxia usando a lei de Hubble:

$v=H_{0}D\Rightarrow D=\frac{v}{H_0}\Rightarrow$

$D=\frac{6·{10}^7 m/s}{\left(2·{10}^{-2} {\displaystyle \frac{m/s}{ano-luz}}\right)}\Rightarrow$

$\boxed{D=3·{10}^9 ano-luz}.$