Questão 3 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Definição de Pressão Equilíbrio de Corpos Extensos

Na natureza, observa-se que a razão entre o diâmetro dos membros de sustentação de um animal e a sua altura é tanto menor quanto menor for o animal (ver figura A). Todavia, os diminutos seres humanos descritos no livro “Viagens de Gulliver” (Jonathan Swift, 1726) e no filme “Downsizing” (2017) têm essa razão mantida, diferentemente do que ocorre na natureza. Para ilustrar o comportamento da natureza, vamos tratar um caso simples: duas caixas cúbicas de água, uma grande – com lado $S = 4, 0 m$ e massa $M = 6, 4 \times 10^{4} k g$ –, e outra pequena – com lado $s = S / 4 = 1, 0 m$ e massa $m = 1, 0 \times 10^{3} k g$ .

a) Suponha que cada caixa esteja em equilíbrio estático e seja sustentada por uma coluna de seção reta quadrada, centrada no fundo, conforme a figura B. Os lados das colunas são $D = 0, 4 m$ (caixa grande) e $b$ (caixa pequena). Qual deve ser o tamanho d dos lados da coluna da caixa pequena para que a pressão exercida sobre essa coluna seja igual à pressão exercida pela caixa grande sobre a sua própria coluna?

b) Vamos supor agora que o equilíbrio estático da caixa grande seja garantido por duas colunas de sustentação. As forças atuando na caixa são: o peso $\vec{P}$ , no centro de massa $C M$ , e as forças $\vec{F_{1}}$ e $\vec{F_{2}}$ exercidas pelas colunas. As linhas (tracejadas) de atuação das três forças estão contidas no plano vertical mostrado na figura C (no espaço de respostas). O módulo do torque resultante sobre a caixa, em relação ao ponto $0$ , é dado por: $|\vec{τ_{0}}| = |\vec{P}| x_{1} - |\vec{F_{2}}| (x_{1} + x_{2}),$ sendo $x_{1} = 1, 8 m$ e $x_{2} = 0, 6 m$ . Calcule os módulos das forças $\vec{F_{1}}$ e $\vec{F_{2}}$

Resolução

a) O peso da caixa grande está apoiado na área da seção reta da coluna, de lado 0,4 m, de forma que sobre esta área age uma força normal de igual intensidade ao peso da caixa grande. Assim, a área na qual se distribui esta força normal é:

$A = 4 \cdot 10^{- 1} \cdot 4 \cdot 10^{- 1} = 16 \cdot 10^{- 2} m^{2} .$

A força normal aplicada sobre esta área tem módulo igual ao do peso do bloco:

$F = P = M \cdot g = 6, 4 \cdot 10^{4} \cdot 10 \Rightarrow$

$F = 6, 4 \cdot 10^{5} N .$

A pressão sobre a coluna será então a razão entre a força aplicada e a área:

$p_{g r a n d e} = \frac{F}{A} = \frac{6, 4 \cdot 10^{5}}{16 \cdot 10^{- 1}} \Rightarrow$

$p_{g r a n d e} = 4 \cdot 10^{6} N / m^{2} .$

Essa mesma pressão deve ser exercida pela caixa pequena sobre sua própria coluna. A força normal exercida pela caixa pequena, porém, tem módulo igual ao seu peso e é dada por

$f = p = m \cdot g = 1, 0 \cdot 10^{3} \cdot 10 \Rightarrow$

$f = 1, 0 \cdot 10^{4} N .$

Assim, escrevendo a expressão da pressão que a caixa pequena exerce sobre sua coluna, de área de secção transversal $a$ , temos

$p_{p e q u e n a} = \frac{f}{a} \Rightarrow$

$4 \cdot 10^{6} = \frac{10^{4}}{a} \Rightarrow$

$a = 0, 25 \cdot 10^{- 2} m^{2} .$

Agora podemos calcular o valor d dos lados da coluna da caixa pequena usando a área de uma superfície quadrada:

$d^{2} = 0, 25 \cdot 10^{- 2} \Rightarrow$

$d = 0, 5 \cdot 10^{- 1} m \Rightarrow$

$d = 0, 05 m .$

b) A condição de equilíbrio rotacional nos diz que o torque resultante em relação a qualquer eixo de rotação deve ser nulo. Assim, usando a expressão fornecida pelo enunciado e substituindo $x_{1} = 1, 8 m$ e $x_{2} = 0, 6 m$ , temos

$0 = P \cdot x_{1} - F_{2} \cdot (x_{1} + x_{2}) \Rightarrow$

$P \cdot 1, 8 = F_{2} \cdot 2, 4 .$

O peso da caixa grande é dado por $P = 6, 4 \cdot 10^{5} N$ , conforme calculado no item anterior. Assim,

$6, 4 \cdot 10^{5} \cdot 1, 8 = 2, 4 \cdot F_{2} \Rightarrow$

$F_{2} = 4, 8 \cdot 10^{5} N .$

Agora, a condição de equilíbrio translacional nos diz que a força resultante agindo em um corpo deve ser nula, portanto a intensidade da força peso (para baixo) deve ser igual a soma das forças F₁ e F₂ (para cima). Com isso,

$P = F_{1} + F_{2} \Rightarrow$

$6, 4 \cdot 10^{5} = F_{1} + 4, 8 \cdot 10^{5} \Rightarrow$

$F_{1} = 1, 6 \cdot 10^{5} N .$

Por fim, temos os módulos das forças:

$F_{1} = 1, 6 \cdot 10^{5} N, F_{2} = 4, 8 \cdot 10^{5} N .$