Questão 4 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Calor Específico Latente na Calorimetria Lei de Fourier

A Antártida possui centenas de lagos subglaciais, ou seja, abaixo do solo e do gelo que recobre o continente. Recentemente, lá foi descoberto um aquífero de grandes dimensões. Considere um lago de área horizontal $A = 50 k m^{2}$ e dimensão vertical $y = 12 m$ (ver figura), coberto por uma camada de gelo de espessura $d = 5, 0 m$ . A água líquida do lago encontra-se na temperatura do seu ponto de fusão, $θ_{á g u a} = 0 º C$ , e o ar imediatamente acima do gelo está na temperatura $θ_{a r} = - 15, 0 º C$ . A densidade da água líquida é $ρ = 1, 0 g / c m^{3}$ e $1 c a l ≃ 4 J$ .

a) Para congelar a água, é preciso retirar calor dela. O calor latente de fusão/solidificação da água é $L_{F} = 80 c a l / g .$ Qual é a quantidade de calor que deve ser retirada para congelar completamente o lago, mantendo-se a temperatura do lago a $0 º C$ ?

b) A quantidade de calor $Q$ conduzido da água do lago para o ar, num intervalo de tempo $∆ t$ , através de uma área $A$ obedece à relação: $\frac{Q}{∆ t A} = \frac{k}{d} (θ_{á g u a} - θ_{a r})$ , sendo $k = 2, 2 W / (m \cdot º C)$ a condutividade térmica do gelo. Calcule a potência conduzida através de toda a área A acima do lago.

Resolução

a) O calor que deve ser retirado da porção de água liquida para que ela congele é dado por

$Q = m \cdot L \Rightarrow$

$Q = (ρ \cdot V) \cdot L \Rightarrow$

$Q = (ρ \cdot A \cdot h) \cdot L \Rightarrow$

$Q = 1 \cdot 10^{3} (\frac{k g}{m^{3}}) \cdot 50 \cdot 10^{6} (m^{2}) \cdot 12 (m) \cdot 80 \cdot 10^{3} (\frac{c a l}{k g}) .$

Cada potência de 10 destacada em azul acima representa o fator de conversão para unidades do SI dos dados fornecidos. Por fim

$Q = 1 \cdot 10^{3} (\frac{k g}{m^{3}}) \cdot 50 \cdot 10^{6} (m^{2}) \cdot 12 (m) \cdot 80 \cdot 10^{3} (\frac{c a l}{k g}) \Rightarrow$

$Q = 4, 8 \cdot 10^{16} c a l .$

b) Por definição, a potência térmica é dada pela razão entre o calor trocado e o intervalo de tempo dessa troca:

$P = \frac{Q}{∆ t},$

onde $Q$ representa o calor transferido pela camada de gelo por unidade de tempo $∆ t$ . Pela lei de Fourier, fornecida no enunciado, usando os valores em unidades do SI,

$P = \frac{k \cdot A \cdot (θ_{á g u a} - θ_{a r})}{d} \Rightarrow$

$P = \frac{2, 2 \cdot 50 \cdot 10^{6} \cdot (0 - (- 15))}{5} .$

Novamente, a potência de 10 em destaque representa a conversão de unidade, agora de km² para m². Com isso

$P = 3, 3 \cdot 10^{8} W .$