Questão 5 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Lançamento não Vertical Força de Atrito Dinâmico

O jogo de malha, bastante popular no interior do estado de São Paulo, foi trazido ao Brasil por imigrantes portugueses no século XIX. Consiste em arremessar um disco metálico com o objetivo de derrubar um pino de madeira localizado na extremidade oposta de uma pista plana, horizontal e uniforme.

a) Um jogador lança o disco obliquamente a partir do solo, em um ângulo de 30º com a horizontal, atingindo o chão a uma distância $D = 36 m$ do ponto de lançamento. Qual o módulo $v_{0}$ da velocidade do disco no instante do arremesso?

Dado: $sen 30 º = 0, 5; \cos 30 º ≃ 0, 9; t a n 30 º ≃ 0, 6 .$

b) Em outra jogada, o disco é lançado rente ao solo com uma velocidade inicial $v_{0} = 16 m / s$ , percorrendo uma distância $d = 25, 6 m$ até parar completamente. Qual é o coeficiente de atrito cinético, $μ_{c},$ entre o disco e a pista?

Resolução

a) O alcance do lançamento oblíquo é dado por

$D = v_{x} \cdot t_{v o o},$

onde $v_{x} = v_{0} \cdot \cos θ$ corresponde à componente horizontal da velocidade de lançamento; assim,

$D = v_{0} \cdot \cos θ \cdot t_{v o o} . (1)$

$θ = 30 °$ é o ângulo que ${\vec{v}}_{0}$ forma com a horizontal. O tempo de voo $t_{v o o}$ , por sua vez, é determinando pela componente vertical do movimento e corresponde ao tempo necessário para que a componente vertical da velocidade inverta de sentido, ou seja, para que $v_{y} = - v_{0 y}$ , já que o lançamento termina no mesmo nível horizontal de onde se inicia. Assim, usando a função horária das velocidades no movimento uniformemente variado, com a aceleração da gravidade para baixo, $a = - g$ ,

$v_{y} = v_{0 y} + a \cdot t = v_{0 y} - g \cdot t,$

obtemos com $t = t_{v o o}$ ,

$- v_{0 y} = v_{0 y} - g \cdot t_{v o o} \Rightarrow$

$t_{v o o} = \frac{2 \cdot v_{0 y}}{g} .$

Como $v_{0 y} = v_{0} \cdot sen θ$ é a componente vertical da velocidade de lançamento, podemos escrever:

$t_{v o o} = \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sen θ}{g} . (2)$

Com isso, substituindo $(2)$ em $(1)$ , o alcance horizontal pode ser escrito conforme abaixo:

$D = v_{0} \cdot \cos θ \cdot \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sen θ}{g} = \frac{2 {v_{0}}^{2} \cdot sen θ \cdot \cos θ}{g}$

Podemos então calcular o módulo $v_{0}$ da velocidade de lançamento isolando na equação acima e substituindo os valores fornecidos no enunciado. Usando unidades do SI:

${v_{0}}^{2} = \frac{g \cdot D}{2 sen θ \cdot \cos θ} = \frac{10 \cdot 36}{2 \cdot 0, 5 \cdot 0, 9} \Rightarrow$

${v_{0}}^{2} = 400 \Rightarrow v_{0} = 20 m / s .$

Observação. Poderia ser utilizada a expressão direta para o alcance quando o lançamento retorna ao mesmo nível horizontal de onde é feito:

$D = \frac{{v_{0}}^{2}}{g} sen (2 θ),$

usando que $sen 60 ° = \cos 30 = 0, 9$ .

b) Sabendo a distância percorrida pelo disco, sua velocidade inicial e que sua velocidade final é nula, podemos usar a equação de Torricelli para determinar a sua aceleração escalar:

$v^{2} = {v_{0}}^{2} + 2 \cdot a \cdot d \Rightarrow$

$0^{2} = 16^{2} + 2 \cdot a \cdot 25, 6 \Rightarrow$

$- 256 = 2 \cdot 25, 6 \cdot a \Rightarrow$

$a = - 5 m / s^{2} .$

A aceleração escalar ser negativa é um reflexo de o movimento ser retardado. Com o módulo da aceleração, podemos determinar o módulo da força resultante sobre o disco, $F_{R} = m \cdot a$ (nessa expressão, é utilizado o módulo da aceleração). Nesse movimento, sobre um plano horizontal, a força normal (para cima) e a força peso (para baixo) anulam mutuamente seus efeitos na direção vertical, de maneira que possuem o mesmo módulo, $N = P = m \cdot g$ , e, portanto, a única força que atua como força resultante é a força de atrito cinético.

Assim, em módulo,

$F_{R} = F_{a t} \Rightarrow m \cdot a = μ_{C} \cdot N .$

Como a força normal possui mesmo módulo que a força peso, temos,

$m \cdot a = μ_{C} \cdot m \cdot g \Rightarrow$

$μ_{C} = \frac{a}{g} = \frac{5}{10} \Rightarrow μ_{C} = 0, 5 .$

Portanto, o coeficiente de atrito vale 0,5.