Questão 6 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Associação Mista de Resistores Problemas em Física de Raciocínio Lógico 1ª Lei de Ohm

a) Fibras ópticas são fibras feitas com materiais transparentes como o vidro ou plástico, amplamente utilizadas na transmissão de dados. Uma outra aplicação importante das fibras ópticas é no desenvolvimento de sensores. Por exemplo, uma fibra óptica com uma microestrutura periódica no seu núcleo reflete luz em apenas um comprimento de onda $λ_{B}$ , sendo que a luz não refletida continua seu caminho. O comprimento de onda refletido é dado por $λ_{B} = 2 n Λ$ , sendo $n$ o índice de refração do núcleo da fibra e $\land$ o período da microestrutura. Essa característica é explorada para monitoramento de deformações mecânicas, pois $\land$ varia quando a fibra é esticada, produzindo uma variação $∆ λ_{B}$ no comprimento de onda da luz refletida. Observa-se que $\frac{∆ λ_{B}}{λ_{B}} = μ ∆ ε$ , sendo $∆ ε$ a variação relativa do comprimento da fibra, e $μ$ uma constante característica do sensor. O gráfico no espaço de respostas mostra a curva de $∆ λ_{B}$ em função de $∆ ε$ obtida na caracterização de um sensor para o qual $n = 1, 5$ e $Λ = 3 \times 10^{- 7} m$ . Encontre a constante característica $μ$ desse sensor.

b) Strain-gauges (extensômetros) são sensores muito empregados em engenharia para medir a deformação de estruturas. Usualmente são resistores elétricos, fixados na estrutura, que sofrem, com a deformação, variação na sua resistência elétrica. O esquema da figura ao lado mostra um circuito elétrico com fonte de tensão $V_{0} = 24 V$ e quatro sensores dispostos numa estrutura. Com a deformação, dois deles têm sua resistência elétrica aumentada, passando de $R = 100 Ω$ para $R + ∆ R$ , enquanto que os outros dois têm a resistência elétrica reduzida de $R = 100 Ω$ para $R - ∆ R$ . Antes da deformação $(∆ R = 0)$ , $∆ V = V_{a} - V_{b} = 0$ . Encontre $∆ V$ após uma deformação que produz uma variação $∆ R = 0, 25 Ω$ .

Resolução

a) A fibra óptica com uma microestrutura periódica como a mencionada no texto é chamada de fibra de Bragg, sendo a estrutura periódica chamada de rede de Bragg. Em uma pequena região da fibra é construída uma variação periódica do índice de refração, permitindo a construção de propriedade ópticas específicas, como a de refletir ou transmitir algumas faixas específicas de comprimentos de onda. A figura abaixo ilustra uma fibra de Bragg, incluindo o período espacial de variação deste índice de refração.

Figuras obtidas em: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/9243/9243_3.PDF

O link acima (acessado em 12/12/2022) fornece maiores detalhes a respeito dessa estrutura e seu funcionamento.

Conforme nos é informado no texto, o comprimento de onda refletido pela rede de Bragg é dado por

$λ_{B} = 2 \cdot n \cdot Λ \Rightarrow$

$λ_{B} = 2 \cdot 1, 5 \cdot 3 \cdot 10^{- 7} \Rightarrow$

$λ_{B} = 9 \cdot 10^{- 7} m .$

É também informado que

$\frac{∆ λ_{B}}{λ_{B}} = μ \cdot ∆ ε \Rightarrow$

$∆ λ_{B} = λ_{B} \cdot μ \cdot ∆ ε .$

Note que essa é uma relação linear entre $∆ λ_{B}$ e $∆ ε$ , sendo o termo destacado em vermelho o coeficiente angular da função $∆ λ_{B} = ∆ λ_{B} (∆ ε)$ . Através de dois pontos da curva teórica traçada a partir dos dados experimentais no gráfico fornecido no enunciado, somos capazes de calcular o coeficiente linear desta função.

A partir do ponto escolhido, destacado na figura acima,

$λ_{B} \cdot μ = \frac{∆ λ}{∆ ε}$

$λ_{B} \cdot μ = \frac{1500 \cdot 10^{- 12}}{2000 \cdot 10^{- 6}}$

$9 \cdot 10^{- 7} \cdot μ = \frac{15 \cdot 10^{- 6}}{20}$

$μ = \frac{15 \cdot 10^{- 6 + 7}}{20 \cdot 9}$

$μ = \frac{5}{6}$

b) A figura abaixo indica as quedas de tensão (diferenças de potencial) nos dois resistores da parte superior da associação. Ambos resistores possuem seus terminais positivos no mesmo potencial elétrico do terminal positivo da fonte de tensão.

Note que

$\{\begin{cases} U_{1} = V_{+} - V_{a} \\ U_{2} = V_{+} - V_{b} \end{cases}$

onde V+ representa o potencial do polo positivo da fonte. Desta forma, a ddp que estamos procurando pode ser dada por

$U_{2} - U_{1} = (V_{+} - V_{b}) - (V_{+} - V_{a}) = V_{a} - V_{b} .$

Aplicando a lei de Ohm, $U = R \cdot i$ , para as tensões nos resistores, temos

$V_{a} - V_{b} = (R + ∆ R) \cdot i_{d i r e i t a} - (R - ∆ R) \cdot i_{e s q u e r d a}$

Dado que ambos os ramos, da esquerda e da direita, possuem a mesma resistência equivalente da associação em série,

$R_{e q} = (R - ∆ R) + (R + ∆ R) = 2 R = 200 Ω,$

podemos dizer que $i_{e s q u e r d a} = i_{d i r e i t a} = i$ . O ramo da esquerda e o da direita estão em paralelo entre si e em paralelo com a fonte de tensão, portanto

$V_{0} = R_{e q} \cdot i \Rightarrow i = \frac{V_{0}}{R_{e q}} .$

Assim, usando unidades do SI,

$V_{a} - V_{b} = (R + ∆ R - R + ∆ R) \cdot i \Rightarrow$

$V_{a} - V_{b} = (∆ R + ∆ R) \cdot \frac{V_{0}}{R_{e q}} \Rightarrow$

$V_{a} - V_{b} = (0, 25 + 0, 25) \cdot \frac{24}{200} \Rightarrow$

$V_{a} - V_{b} = 0, 5 \cdot \frac{12}{100} \Rightarrow$

$V_{a} - V_{b} = 0, 06 V .$