Questão 2 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2

a) Considere os valores $p=q=1$, temos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x-z=1\\ x+y+z=3\end{array}\right.$

Substituindo a primeira equação na última:

$\left(x+y\right)+z=3\iff 1+z=3\iff z=2$

Substituindo o valor de $z$ na segunda equação do sistema:

$2x-2=1\iff x=\frac{3}{2}$

Por fim, substituindo o valor de $x$ na primeira equação do sistema:

$\frac{3}{2}+y=1\iff y=-\frac{1}{2}$

Portanto:

$\boxed{V=\left\{\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},2\right)\right\}}$

b) Vamos escalonar esse sistema. Somando a terceira equação à segunda, e multiplicando a primeira equação por $-3$, temos que:

$\left\{\begin{array}{l}x+py=q\\ 2x-z=p\\ x+y+z=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3x-3py=-3q\\ 3x+y=p+3\\ x+y+z=3\end{array}\right.$

Agora somando a segunda equação à primeira:

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(1-3p\right)·y=p-3q+3\\ 3x+y=p+3\\ x+y+z=3\end{array}\right.$

Com isso, segue que:

• se $1-3p\ne 0$, o sistema será possível e determinado (SPD), pois ficaremos com 3 equações úteis para 3 incógnitas;
• se $\left\{\begin{array}{l}1-3p=0\\ p-3q+3\ne 0\end{array}\right.$, a primeira equação, e consequentemente o sistema linear, será impossível (SI);
• se $\left\{\begin{array}{l}1-3p=0\\ p-3q+3=0\end{array}\right.$, a primeira equação se torna uma redundância da forma $0=0$, de modo que ficaremos apenas com 2 equações úteis para 3 incógnitas, o que configura o sistema possível e indeterminado (SPI).

Como estamos interessados no caso em que o sistema linear tenha infinitas soluções (SPI), fazemos:

$\left\{\begin{array}{l}1-3p=0\\ p-3q+3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}p=\frac{1}{3}\\ q=\frac{p+3}{3}\end{array}\right.\iff \boxed{\left\{\begin{array}{l}p=\frac{1}{3}\\ q=\frac{10}{9}\end{array}\right.}$

Resolução alternativa:

Deixaremos como resolução alternativa a análise do item (b) pela regra de Cramer, assunto que a UNICAMP retirou do edital para esse ano.

Apresentando o sistema linear dado em forma matricial, temos:

$\left[\begin{array}{ccc}1& p& 0\\ 2& 0& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}q\\ p\\ 3\end{array}\right]$

Primeiramente vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:

$\left|\begin{array}{ccc}1& p& 0\\ 2& 0& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=-p+1-2p=1-3p$

Para que o sistema admita infinitas soluções, uma condição necessária (mas não suficiente) é que o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero, ou seja:

$1-3p=0\iff p=\frac{1}{3}$

Substituindo o valor de $p$ no sistema e iniciando o processo de escalonamento:

$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{3}·y=q\\ 2x-z=\frac{1}{3}\\ x+y+z=3\end{array}\right.$

Multiplicando a primeira equação por 3, e somando a segunda à terceira, temos:

$\left\{\begin{array}{l}3x+y=3q\\ 2x-z=\frac{1}{3}\\ 3x+y=\frac{10}{3}\end{array}\right.$

Nesse ponto, comparando a primeira equação com a terceira, segue que:

• se $\frac{10}{3}-3q\ne 0\iff q\ne \frac{10}{9}$, as equações são incompatíveis, o que nos conduzirá a um sistema linear impossível;
• se $\frac{10}{3}-3q=0\iff q=\frac{10}{9}$, a primeira equação fica idêntica à terceira, o que deixa o sistema com apenas duas equações úteis para 3 incógnitas, e assim, possível e indeterminado.

Portanto, para que tenha infinitas soluções, isto é, seja possível e indeterminado:

$\boxed{\left\{\begin{array}{l}p=\frac{1}{3}\\ q=\frac{10}{9}\end{array}\right.}$