Questão 3 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2

a) Temos que:

$f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\cos \left(2·\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)-2·\mathrm{sen}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=$

$\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-2·\mathrm{sen}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=0-2·\frac{\sqrt{2}}{2}\iff$

$\boxed{f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=-\sqrt{2}}$

b) Lembramos que:

$\cos \left(2x\right)={\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x=\left(1-{\mathrm{sen}}^{2}x\right)-{\mathrm{sen}}^{2}x=1-2·{\mathrm{sen}}^{2}x$

Portanto, podemos reescrever a expressão da função dada como:

$f\left(x\right)=1-2·{\mathrm{sen}}^{2}x-2·\mathrm{sen}x=-2·{\mathrm{sen}}^{2}x-2·\mathrm{sen}x+1$

Assim:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\iff -2·{\mathrm{sen}}^{2}x-2·\mathrm{sen}x+1=-\frac{1}{2}\iff$

$-2·{\mathrm{sen}}^{2}x-2·\mathrm{sen}x+\frac{3}{2}=0$

Dividindo ambos os membros da igualdade por $-2$, vem que:

${\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x-\frac{3}{4}=0$

Tratando tal equação inicialmente como uma equação do segundo grau na incógnita $\mathrm{sen}x$, temos que:

${\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x-\frac{3}{4}=0\iff \mathrm{sen}x=-\frac{3}{2}$  ou  $\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$

Como $-1⩽\mathrm{sen}x⩽1$, descartamos a opção $\mathrm{sen}x=-\frac{3}{2}$ e ficamos com:

$\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$

No intervalo $\left[0,2\mathrm{\pi }\right]$, temos:

$\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$  ou  $x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}$

Portanto:

$\boxed{V=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right\}}$