Questão 4 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Princípio Fundamental da Contagem Posições Relativas Entre Retas Probabilidade

Uma estudante está praticando suas habilidades de geometria. Para isso, lança simultaneamente dois dados, um amarelo e um branco, e desenha a reta $r$ dada por $y = a_{1} x + b_{1}$ ,sendo $a_{1}$ o resultado obtido no lançamento do dado amarelo e $b_{1}$ o resultado obtido no lançamento do dado branco.

Ela repete este processo, lançando novamente ambos os dados, e desenha assim uma segunda reta $s$ dada por $y = a_{2} x + b_{2}$ , com $a_{2}$ sendo o resultado obtido no segundo lançamento do dado amarelo e $b_{2}$ o resultado obtido no segundo lançamento do dado branco.

a) Qual a probabilidade de as retas r e s terem apenas um ponto em comum?

b) Numa rodada do jogo, os resultados dos dados foram $a_{1} = 2, b_{1} = 3, a_{2} = 5,$ e $b_{2} = 6$ . Determine o ponto de interseção das retas encontradas.

Resolução

a) Como a reta $r$ tem seus coeficientes formados a partir dos resultados obtidos nos lançamentos de dois dados, segue que existem $6 \cdot 6 = 36$ maneiras de se obter a reta $r$ . Analogamente para a reta $s$ .

Para que a reta $s$ encontre a reta $r$ em um único ponto (ou seja, elas não podem ser paralelas), então devemos ter $a_{2} \neq a_{1}$ . Assim, ao obter o coeficiente $a_{1}$ da reta $r$ , o coeficiente $a_{2}$ precisa assumir um valor diferente.

Dessa forma, existem $5 \cdot 6 = 30$ maneiras de se obter a reta $s$ .

Portanto, a probabilidade pedida é $\frac{36}{36} \cdot \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$ .

b) Na situação descrita, a reta $r$ tem equação $y = 2 x + 3$ e a reta $s$ tem equação $y = 5 x + 6$ .

O ponto de interseção entre as retas é a solução do sistema:

$\{\begin{cases} y = 2 x + 3 \\ y = 5 x + 6 \end{cases}$

dessa forma, segue que:

$2 x + 3 = 5 x + 6 \Leftrightarrow$ $3 x = - 3 \Leftrightarrow$ $x = - 1$ .

Substituindo $x = 1$ na reta $r$ , obtemos $y = 1$ .

Portanto, as retas $r$ e $s$ se encontram no ponto de coordenadas $(- 1, 1)$ .