Questão 6 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Teorema de Pitágoras Equações e Inequações (Função Quadrática)

Considere um triângulo ABC.

a) Supondo que ABC é um triângulo retângulo com perímetro igual a 16 cm e hipotenusa de comprimento 7 cm, calcule sua área.

b) Sabendo que em um triângulo qualquer a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados é sempre maior que o comprimento do terceiro lado e assumindo que as medidas dos lados de um certo triângulo são $a, a^{2}, a^{3},$ calcule os possíveis valores de $a$ .

Resolução

a) Seja o triângulo retângulo $A B C$ , com hipotenusa medindo $7 cm$ e catetos com medidas $a$ e $b$ , ilustrado abaixo:

SOLUÇÃO 1:
Como o perímetro é igual a $16 cm$ , então:

$a + b + 7 = 16 \Leftrightarrow a + b = 9 \Leftrightarrow$ .

${(a + b)}^{2} = 81 \Leftrightarrow a^{2} + 2 a b + b^{2} = 81$ $(1)$

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:

$a^{2} + b^{2} = 49$ $(2)$

Além disso, a área do triângulo pode ser calculada por:

$A = \frac{1}{2} a b$ $(3)$

Substituindo $(2)$ e $(3)$ em $(1)$ , temos:

$2 a b + a^{2} + b^{2} = 81 \Leftrightarrow 2 a b + 49 = 81 \Leftrightarrow a b = 16 \Leftrightarrow A = 8 {cm}^{2}$

SOLUÇÃO 2:

Como o perímetro é igual a $16 cm$ , então:

$a + b + 7 = 16 \Rightarrow a + b = 9 \Rightarrow b = 9 - a$ .

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

$a^{2} + {(9 - a)}^{2} = 7^{2}$

$a^{2} + 81 - 18 a + a^{2} = 49$

$2 a^{2} - 18 a + 32 = 0$

$a^{2} - 9 a + 16 = 0$

$∆ = 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 17$

$a = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Se perda de generalidade, vamos assumir:

$a = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \Rightarrow b = 9 - a \Rightarrow b = 9 - \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \Rightarrow b = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$

Portanto, a área do triângulo é:

$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{(9 + \sqrt{17})}{2} \cdot \frac{(9 - \sqrt{17})}{2} = \frac{81 - 17}{8} = \frac{64}{8}$

$A = 8 {cm}^{2}$

b) Pelo enunciado, podemos formar um sistema com 3 inequações:

$\{\begin{cases} a^{3} < a^{2} + a \\ a^{2} < a^{3} + a \\ a < a^{3} + a^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a^{3} - a^{2} - a < 0 \\ a^{3} - a^{2} + a > 0 \\ a^{3} + a^{2} - a > 0 \end{cases}$

Como $a$ é lado de um triângulo, podemos concluir que $a > 0$ , logo, dividindo todas inequações por $a$ temos:

$\{\begin{cases} a^{2} - a - 1 < 0 \\ a^{2} - a + 1 > 0 \\ a^{2} + a - 1 > 0 \end{cases}$

(i) Resolvendo a primeira inequação:

$a^{2} - a - 1 < 0$

Raízes:

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ ,

como $a > 0$ , tem-se o seguinte intervalo:

$a \in (\begin{matrix} 0; & \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{matrix})$

(ii) Resolvendo a segunda inequação:

$a^{2} - a + 1 > 0$

Raízes:

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3$ ,

Ou seja, a inequação é verdadeira para todo $a > 0$ .

(iii) Resolvendo a terceira inequação:

$a^{2} + a - 1 > 0$

Raízes:

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5$ ,

$a = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

como $a > 0$ , tem-se o seguinte intervalo:

$a \in (\begin{matrix} \frac{\sqrt{5} - 1}{2}; & + \infty \end{matrix})$

Fazendo a intersecção entre os intervalos:

$a \in (\begin{matrix} \frac{\sqrt{5} - 1}{2}; & \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{matrix})$