Questão 34 Unicamp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 34

3ª Lei de Kepler

O planeta anão Ceres foi descoberto em 1801 por Giuseppe Piazzi. Resultados científicos recentes indicam que Ceres teria sido formado nas zonas mais afastadas do Sistema Solar e posteriormente lançado para a região onde se encontra atualmente, entre as órbitas de Marte e Júpiter. A tabela abaixo apresenta o período de translação $T$ , a distância média ao Sol $R$ , bem como $T^{2}$ , $R^{3}$ e a razão ( $T^{2}$ / $R^{3}$ ) para alguns planetas do Sistema Solar. De acordo com a 3ª Lei de Kepler, a razão ( $T^{2}$ / $R^{3}$ ) é constante. A partir dos dados da tabela, pode-se concluir que o período orbital de Ceres, $T_{C e r e s}$ , é aproximadamente igual a

a)	1,00 ano.
b)	2,77 anos.
c)	4,62 anos.
d)	21,3 anos.

Resolução

Pela terceira lei de Kepler, temos que a razão entre quadrado do período de translação ( $T$ ) e o cubo da distância média ao Sol ( $R$ ) para as órbitas dos planetas em torno do Sol é constante; princípio que é reforçado pelos dados apresentados na tabela. A partir da tabela, utilizando ano para unidade do período e u.a. (unidade astronômica) para a unidade da distância média, tal razão é igual a 1:

$\frac{T^{2}}{R^{3}} = 1 \frac{a n o^{2}}{u . a .^{3}} .$

Utilizando os dados da tabela para o planeta anão Ceres, $R_{C e r e s} = 2, 77 u . a .$ , temos

$\frac{{T_{C e r e s}}^{2}}{{R_{C e r e s}}^{3}} = \frac{{T_{C e r e s}}^{2}}{2, 77^{3}} = 1 \Rightarrow$

${T_{C e r e s}}^{2} = 2, 77^{3} ≅ 21, 3 \Rightarrow$

$T_{C e r e s} ≅ \sqrt{21, 3} \Rightarrow$

$T_{C e r e s} ≅ 4, 62 a n o .$

A alternativa correta é a C.

Como os valores das alternativas diferem bastante entre si, uma opção é tomar o quadrado dos valores apresentados e ver qual deles mais se aproxima de 21,3.