Questão 46 Unicamp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 46

Funções Circulares Seno da Soma e da Subtração

A seguir, são apresentadas quatro funções, definidas para $x \in ℝ$ ; são também apresentados quatro esboços de gráficos.

Funções:

$f (x) = s e n (x) + \frac{π}{4}$

$g (x) = \cos (x + \frac{π}{4}) - s e n (x + \frac{π}{4})$

$h (x) = s e n (x - \frac{π}{4})$

$p (x) = \cos (x) + s e n (x)$

Gráficos:

A opção que descreve corretamente a correspondência entre as funções e seus gráficos é:

a)	(i) e $g (x)$ ; (ii) e $h (x)$ ; (iii) e $p (x)$ ; (iv) e $f (x)$ .
b)	(i) e $h (x)$ ; (ii) e $g (x)$ ; (iii) e $f (x)$ ; (iv) e $p (x)$ .
c)	(i) e $p (x)$ ; (ii) e $h (x)$ ; (iii) e $g (x)$ ; (iv) e $f (x)$ .
d)	(i) e $f (x)$ ; (ii) e $g (x)$ ; (iii) e $p (x)$ ; (iv) e $h (x)$ .

Resolução

Vamos analisar cada função, mas note que se associarmos apenas uma função com o gráfico, já temos condições de definir a resposta correta.

Função: $f (x) = sen (x) + \frac{π}{4}$

O gráfico de $f (x)$ equivale a o gráfico da função $sen x$ que sofreu uma translação vertical de $\frac{π}{4}$ , que corresponde ao gráfico (iii):

Função: $g (x) = \cos (x + \frac{π}{4}) - sen (x + \frac{π}{4})$

Manipulando a expressão temos a seguinte equivalência:

$\cos (x + \frac{π}{4}) - sen (x + \frac{π}{4}) = \cos x \cdot \cos \frac{π}{4} - sen x \cdot sen \frac{π}{4} - (sen x \cdot \cos \frac{π}{4} + \cos x \cdot sen \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen x = - \sqrt{2} \cdot sen x$

Logo, $g (x) = - \sqrt{2} \cdot sen x$ , que equivale ao gráfico da função seno com a imagem multiplicada por $- \sqrt{2}$ , ou seja, o gráfico sofre uma inversão e a imagem é ampliada, isto é:

se $- 1 \leq sen (x) \leq 1 \Rightarrow - \sqrt{2} \leq - \sqrt{2} \cdot sen (x) \leq \sqrt{2}$ , que corresponde ao gráfico (ii):

Função: $h (x) = sen (x - \frac{π}{4})$

O gráfico da função $h (x)$ equivale a o gráfico da função $sen x$ que sofreu uma translação horizontal de $\frac{π}{4}$ sem alterações na imagem, isto é, o deslocamento horizontal é a raiz da expressão: $x - \frac{π}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{4}$ , logo a função corresponde ao gráfico (i):

Função: $p (x) = \cos (x) + sen (x)$

Manipulando a expressão temos a seguinte equivalência:

$\cos (x) + sen (x) = \cos x + \cos (\frac{π}{2} - x) = 2 \cdot \cos (\frac{x + (\frac{π}{2} - x)}{2}) \cdot \cos (\frac{x - (\frac{π}{2} - x)}{2}) = 2 \cdot \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cdot \cos (x - \frac{π}{4})$

Logo, $p (x) = \sqrt{2} \cdot \cos (x - \frac{π}{4})$ , que equivale ao gráfico da função $\cos x$ que sofreu uma translação horizontal de $\frac{π}{4}$ e teve sua imagem multiplicada por $\sqrt{2}$ , então a função corresponde ao gráfico (iv):

Portanto, (i) e $h (x)$ ; (ii) e $g (x)$ ; (iii) e $f (x)$ ; (vi) e $p (x)$ .