Questão 48 Unicamp 2023 - 1ª fase

Seja $r$ a razão das progressões aritméticas $\left(a, b, c\right)$ e $\left(ab, bc, ca\right)$.

Como, em uma progressão aritmética, para qualquer posição $n$ temos $a_{n+1}-a_n=r$, segue que:

$\left(I\right) \left\{\begin{array}{l}a=b-r\\ c=b+r\end{array}\right.$

$\left(II\right) \left\{\begin{array}{l}ab=bc-r\\ ca=bc+r\end{array}\right.$

Substituindo as relações de $\left(I\right)$ em $\left(II\right)$, obtemos o sistema:

$\left(III\right) \left\{\begin{array}{l}\left(b-r\right)·b=b·\left(b+r\right)-r\\ \left(b+r\right)·\left(b-r\right)=b·\left(b+r\right)+r\end{array}\right.$

Desenvolvendo a primeira equação de $\left(III\right)$:

$$\begin{gathered} b^2-rb=b^2+br-r \\ r-2br=0 \\ r·\left(1-2b\right)=0 \end{gathered}$$

Sabendo que os números $a$, $b$ e $c$ são distintos, segue que $r\ne 0$. Nesse caso, pela equação acima, concluímos que

$$\begin{gathered} 1-2b=0 \\ \Rightarrow b=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Daí, ao desenvolver a segunda equação de $\left(III\right)$ e substituir o valor encontrado para $b$, temos:

$$\begin{gathered} b^2-r^2=b^2+br+r \\ {r}^2+br+r=0 \\ {r}^2+\frac{1}{2}·r+r=0 \\ {r}^2+\frac{3}{2}·r=0 \\ r·\left(r+\frac{3}{2}\right)=0 \end{gathered}$$

Sendo $r\ne 0$, resulta que

$r=-\frac{3}{2}$

Portanto,

$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=2\\ c=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\end{array}\right.$

donde obtemos o produto

$abc=2·\frac{1}{2}·\left(-1\right)=-1$