Questão 50 Unicamp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 50

Cilindros Esferas

Um recipiente cilíndrico de altura $h$ tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio $R$ neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.

Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a

a)	$2 R$ .
b)	$R$ .
c)	$\frac{R}{3}$ .
d)	$\frac{2 R}{3}$ .

Resolução

Podemos observar que o volume de água deslocado é igual ao volume da esfera. Observe, também, que o volume de água deslocado é igual ao volume de um cilindro cuja base é igual à base do cilindro original e a altura é justamente a variação entre a altura final de água e a altura inicial de água. Assim, chamando essa variação de $∆ h$ , temos a situação abaixo.

Igualando o volume da esfera ao volume do cilindro de água deslocada, temos:

$V_{e s f} = V_{c} \Leftrightarrow \frac{4}{3} π \cdot R^{3} = π \cdot {(2 R)}^{2} \cdot ∆ h \Leftrightarrow \frac{4}{3} π \cdot R^{3} = π \cdot 4 R^{2} \cdot ∆ h \Leftrightarrow ∆ h = \frac{R}{3}$